Uma quantidade de a 298 K é comprimida reversivelmente e adiabaticamente de um volume de 20,0 dm para . Assumindo comportamento ideal, calcule a temperatura final do . Dado .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma quantidade de gás nitrogênio ( ) que está sendo comprimida de forma reversível e adiabática. Isso significa que não há troca de calor com o ambiente durante o processo. A compressão vai de um volume inicial de 20,0 dm³ para um volume final de 5,0 dm³, e a temperatura inicial é de 298 K. Queremos descobrir qual será a temperatura final desse gás após a compressão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica sobre processos adiabáticos e comportamento de gases ideais, além da relação entre capacidades caloríficas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há transferência de calor ( ) entre o sistema e o ambiente. Isso significa que toda a energia fornecida ao sistema na forma de trabalho ( ) altera a energia interna do gás, afetando sua temperatura.

Passo 3

Sabemos que para um gás ideal em um processo adiabático reversível, a relação entre temperatura e volume é dada por:
Aqui, e são as temperaturas inicial e final, e são os volumes inicial e final, e é o índice adiabático, que é a razão entre a capacidade calorífica a pressão constante ( ) e a capacidade calorífica a volume constante ( ):

Passo 4

Vamos calcular o valor de . Foi dado que . Sabemos que para gases ideais, a relação entre e é:
Substituindo na equação:
Agora, calculamos :

Passo 5

Agora que temos , podemos usar a relação adiabática para encontrar a temperatura final . Rearranjando a fórmula:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 6

Vamos calcular . Isso é igual a .
Então:

Resposta

A temperatura final do após a compressão é aproximadamente 684 K.

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