Uma quantidade de
a 298 K é comprimida reversivelmente e adiabaticamente de um volume de 20,0 dm
para
. Assumindo comportamento ideal, calcule a temperatura final do
. Dado
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma quantidade de gás nitrogênio (
) que está sendo comprimida de forma reversível e adiabática. Isso significa que não há troca de calor com o ambiente durante o processo. A compressão vai de um volume inicial de 20,0 dm³ para um volume final de 5,0 dm³, e a temperatura inicial é de 298 K. Queremos descobrir qual será a temperatura final desse gás após a compressão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica sobre processos adiabáticos e comportamento de gases ideais, além da relação entre capacidades caloríficas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há transferência de calor (
) entre o sistema e o ambiente. Isso significa que toda a energia fornecida ao sistema na forma de trabalho (
) altera a energia interna do gás, afetando sua temperatura.
Passo 3
Sabemos que para um gás ideal em um processo adiabático reversível, a relação entre temperatura e volume é dada por:
Aqui,
e
são as temperaturas inicial e final,
e
são os volumes inicial e final, e
é o índice adiabático, que é a razão entre a capacidade calorífica a pressão constante (
) e a capacidade calorífica a volume constante (
):
Passo 4
Vamos calcular o valor de
. Foi dado que
. Sabemos que para gases ideais, a relação entre
e
é:
Substituindo
na equação:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos usar a relação adiabática para encontrar a temperatura final
. Rearranjando a fórmula:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 6
Vamos calcular
. Isso é igual a
.
Então:
Resposta
A temperatura final do
após a compressão é aproximadamente 684 K.