Uma quantidade de N2(g) a 298 K é comprimida reversivelmente e adiabaticamente de um volume de 20,0 dm ^3 para 5 dm^3. Assumindo comportamento ideal, calcule a temperatura final do N2(g). Dado Cv, m=5 R / 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma quantidade de gás nitrogênio ( N2(g)) que está sendo comprimida de forma reversível e adiabática. Isso significa que não há troca de calor com o ambiente durante o processo. A compressão vai de um volume inicial de 20,0 dm³ para um volume final de 5,0 dm³, e a temperatura inicial é de 298 K. Queremos descobrir qual será a temperatura final desse gás após a compressão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica sobre processos adiabáticos e comportamento de gases ideais, além da relação entre capacidades caloríficas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há transferência de calor ( Q = 0) entre o sistema e o ambiente. Isso significa que toda a energia fornecida ao sistema na forma de trabalho ( W) altera a energia interna do gás, afetando sua temperatura.

Passo 3

Sabemos que para um gás ideal em um processo adiabático reversível, a relação entre temperatura e volume é dada por:
T1 V1^gamma - 1 = T2 V2^gamma - 1
Aqui, T1 e T2 são as temperaturas inicial e final, V1 e V2 são os volumes inicial e final, e gamma é o índice adiabático, que é a razão entre a capacidade calorífica a pressão constante ( Cp) e a capacidade calorífica a volume constante ( Cv):
gamma = CpCv

Passo 4

Vamos calcular o valor de gamma. Foi dado que Cv,m = 52 R. Sabemos que para gases ideais, a relação entre Cp e Cv é:
Cp = Cv + R
Substituindo Cv na equação:
Cp = 52 R + R = 72 R
Agora, calculamos gamma:
gamma = CpCv = 72 R52 R = 75 = 1,4

Passo 5

Agora que temos gamma, podemos usar a relação adiabática para encontrar a temperatura final T2. Rearranjando a fórmula:
T2 = T1 ( V1V2 )^gamma - 1
Substituindo os valores conhecidos:
T2 = 298 , K ( 20,0 , dm^35,0 , dm^3 )^1,4 - 1 = 298 , K ( 4 )^0,4

Passo 6

Vamos calcular 4^0,4. Isso é igual a raiz[5]4^2 = raiz[5]16 approx 2,2974.
Então:
T2 approx 298 , K times 2,2974 approx 684 , K

Resposta

A temperatura final do N2(g) após a compressão é aproximadamente 684 K.

Exercícios relacionados