Uma amostra de um mol de CO2(g) ocupa 2,00 dm^3 a uma temperatura de 300 K . Se o gás for comprimido isotermicamente a uma pressão externa constante, P ext de modo que o volume final seja 0,750 dm^3, calcule o menor valor que P ext pode ter, assumindo que CO2(g) satisfaz a equação de estado de van der Waals sob essas condições. Calcule o trabalho envolvido usando este valor de P ext

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um mol de dióxido de carbono gasoso ( CO2(g)) que ocupa um volume inicial de 2,00 dm³ a uma temperatura de 300 K. Queremos comprimir esse gás mantendo a temperatura constante (isso é o que chamamos de compressão isotérmica) até que o volume final seja 0,750 dm³. Precisamos encontrar o menor valor que a pressão externa ( Pext) pode ter para realizar essa compressão, assumindo que o CO2 segue a equação de van der Waals. Além disso, precisamos calcular o trabalho envolvido nessa compressão usando esse valor de Pext.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Equação de Van der Waals: Uma versão ajustada da equação dos gases ideais que leva em conta o volume das moléculas e as forças intermoleculares.
  • Trabalho em processos isotérmicos: Como calcular o trabalho realizado quando um gás é comprimido ou expandido a temperatura constante.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Van der Waals. Ela é dada por:
( P + a n^2V^2 )(V - n b) = n R T
Onde:
  • CO2 é a pressão do gás.
  • é o volume do gás.
  • é o número de mols.
  • é a temperatura.
  • é a constante dos gases (aproximadamente 8,314 J/mol·K).
  • e são constantes específicas para cada gás. Para o , os valores são aproximadamente:
Como estamos lidando com pressão externa constante e compressão isotérmica, podemos usar essa equação para encontrar a pressão final após a compressão.

Passo 3

Vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. Como os valores de ( Pext + a n^2Vfinal^2 )(Vfinal - n b) = n R T e estão em litros e atmosferas, vamos trabalhar com essas unidades.
Sabemos que:
  • mol
  • (usando unidades de litros e atmosferas)
Vamos aplicar a equação de Van der Waals para o estado final do gás:

Passo 4

Substituindo os valores na equação:
( Pext + 0,364 times 1^20,750^2 )(0,750 - 1 times 0,0427) = 1 times 0,0821 times 300
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando 0,3640,750^2 = 0,3640,5625 approx 0,647 , atm :
0,750 - 0,0427 = 0,7073 , L
  1. Calculando 1 times 0,0821 times 300 = 24,63 , L cdot atm :
( Pext + 0,647 ) times 0,7073 = 24,63
  1. Calculando o lado direito da equação :
Agora, colocando tudo de volta na equação:

Passo 5

Agora, vamos resolver para Pext + 0,647 = 24,630,7073 approx 34,80 , atm :
Primeiro, divida ambos os lados por 0,7073:
Pext = 34,80 - 0,647 approx 34,15 , atm
Agora, subtraia 0,647 de ambos os lados:
Então, o menor valor que pode ter é aproximadamente 34,15 atm.

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho envolvido nessa compressão isotérmica. O trabalho W = -n R T ln( VfinalVinicial ) em uma compressão isotérmica de um gás ideal (e, sob certas condições, também pode ser aproximado para gases reais) é dado por:
W = -1 times 0,0821 times 300 times ln( 0,7502,00 )
Como estamos lidando com um processo isotérmico, a temperatura permanece constante, e usamos a expressão acima para calcular o trabalho realizado pelo sistema.
Substituindo os valores:

Passo 7

Calculando passo a passo:
  1. Calcular a razão dos volumes:
VfinalVinicial = 0,7502,00 = 0,375
  1. Calcular o logaritmo natural dessa razão:
ln(0,375) approx -0,9808
  1. Multiplicar por W = -1 times 0,0821 times 300 times (-0,9808) approx 24,14 , L cdot atm :
W approx 24,14 times 101,325 approx 2444 , J
Para converter o trabalho para joules, usamos a relação :

Resposta

O menor valor que a pressão externa ( ) pode ter é aproximadamente 34,15 atm. O trabalho envolvido nessa compressão isotérmica usando esse valor de é de aproximadamente 2444 J.

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