Uma amostra de um mol de ocupa 2,00 a uma temperatura de 300 K . Se o gás for comprimido isotermicamente a uma pressão externa constante, de modo que o volume final seja , calcule o menor valor que pode ter, assumindo que satisfaz a equação de estado de van der Waals sob essas condições. Calcule o trabalho envolvido usando este valor de

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um mol de dióxido de carbono gasoso ( ) que ocupa um volume inicial de 2,00 dm³ a uma temperatura de 300 K. Queremos comprimir esse gás mantendo a temperatura constante (isso é o que chamamos de compressão isotérmica) até que o volume final seja 0,750 dm³. Precisamos encontrar o menor valor que a pressão externa ( ) pode ter para realizar essa compressão, assumindo que o segue a equação de van der Waals. Além disso, precisamos calcular o trabalho envolvido nessa compressão usando esse valor de .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Equação de Van der Waals: Uma versão ajustada da equação dos gases ideais que leva em conta o volume das moléculas e as forças intermoleculares.
  • Trabalho em processos isotérmicos: Como calcular o trabalho realizado quando um gás é comprimido ou expandido a temperatura constante.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Van der Waals. Ela é dada por:
Onde:
  • é a pressão do gás.
  • é o volume do gás.
  • é o número de mols.
  • é a temperatura.
  • é a constante dos gases (aproximadamente 8,314 J/mol·K).
  • e são constantes específicas para cada gás. Para o , os valores são aproximadamente:
Como estamos lidando com pressão externa constante e compressão isotérmica, podemos usar essa equação para encontrar a pressão final após a compressão.

Passo 3

Vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. Como os valores de e estão em litros e atmosferas, vamos trabalhar com essas unidades.
Sabemos que:
  • mol
  • (usando unidades de litros e atmosferas)
Vamos aplicar a equação de Van der Waals para o estado final do gás:

Passo 4

Substituindo os valores na equação:
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando o lado direito da equação :
Agora, colocando tudo de volta na equação:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Primeiro, divida ambos os lados por 0,7073:
Agora, subtraia 0,647 de ambos os lados:
Então, o menor valor que pode ter é aproximadamente 34,15 atm.

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho envolvido nessa compressão isotérmica. O trabalho em uma compressão isotérmica de um gás ideal (e, sob certas condições, também pode ser aproximado para gases reais) é dado por:
Como estamos lidando com um processo isotérmico, a temperatura permanece constante, e usamos a expressão acima para calcular o trabalho realizado pelo sistema.
Substituindo os valores:

Passo 7

Calculando passo a passo:
  1. Calcular a razão dos volumes:
  1. Calcular o logaritmo natural dessa razão:
  1. Multiplicar por :
Para converter o trabalho para joules, usamos a relação :

Resposta

O menor valor que a pressão externa ( ) pode ter é aproximadamente 34,15 atm. O trabalho envolvido nessa compressão isotérmica usando esse valor de é de aproximadamente 2444 J.

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