Uma amostra de um mol de
ocupa 2,00
a uma temperatura de 300 K . Se o gás for comprimido isotermicamente a uma pressão externa constante,
de modo que o volume final seja
, calcule o menor valor que
pode ter, assumindo que
satisfaz a equação de estado de van der Waals sob essas condições. Calcule o trabalho envolvido usando este valor de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um mol de dióxido de carbono gasoso (
) que ocupa um volume inicial de 2,00 dm³ a uma temperatura de 300 K. Queremos comprimir esse gás mantendo a temperatura constante (isso é o que chamamos de compressão isotérmica) até que o volume final seja 0,750 dm³. Precisamos encontrar o menor valor que a pressão externa (
) pode ter para realizar essa compressão, assumindo que o
segue a equação de van der Waals. Além disso, precisamos calcular o trabalho envolvido nessa compressão usando esse valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Equação de Van der Waals: Uma versão ajustada da equação dos gases ideais que leva em conta o volume das moléculas e as forças intermoleculares.
- Trabalho em processos isotérmicos: Como calcular o trabalho realizado quando um gás é comprimido ou expandido a temperatura constante.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Van der Waals. Ela é dada por:
Onde:
-
é a pressão do gás. -
é o volume do gás. -
é o número de mols. -
é a temperatura. -
é a constante dos gases (aproximadamente 8,314 J/mol·K). -
e são constantes específicas para cada gás. Para o , os valores são aproximadamente: -
Como estamos lidando com pressão externa constante e compressão isotérmica, podemos usar essa equação para encontrar a pressão final após a compressão.
Passo 3
Vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. Como os valores de
e
estão em litros e atmosferas, vamos trabalhar com essas unidades.
Sabemos que:
-
mol -
-
-
-
(usando unidades de litros e atmosferas)
Vamos aplicar a equação de Van der Waals para o estado final do gás:
Passo 4
Substituindo os valores na equação:
Vamos calcular cada parte:
- Calculando
:
- Calculando
:
- Calculando o lado direito da equação
:
Agora, colocando tudo de volta na equação:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Primeiro, divida ambos os lados por 0,7073:
Agora, subtraia 0,647 de ambos os lados:
Então, o menor valor que
pode ter é aproximadamente 34,15 atm.
Passo 6
Agora, vamos calcular o trabalho envolvido nessa compressão isotérmica. O trabalho
em uma compressão isotérmica de um gás ideal (e, sob certas condições, também pode ser aproximado para gases reais) é dado por:
Como estamos lidando com um processo isotérmico, a temperatura permanece constante, e usamos a expressão acima para calcular o trabalho realizado pelo sistema.
Substituindo os valores:
Passo 7
Calculando passo a passo:
- Calcular a razão dos volumes:
- Calcular o logaritmo natural dessa razão:
- Multiplicar por
:
Para converter o trabalho para joules, usamos a relação
:
Resposta
O menor valor que a pressão externa (
) pode ter é aproximadamente 34,15 atm. O trabalho envolvido nessa compressão isotérmica usando esse valor de
é de aproximadamente 2444 J.
Exercícios relacionados
Considere um gás ideal que ocupa
a uma pressão de 3,00 bar. Se o gás for comprimido isotermicamente a uma pressão externa constante,
de modo que o volume final seja
, calcule o menor valor que
pode ter. a) Calcule o trabalho envolvido usando este valor de
b) calcule o trabalho considerado que a expansão ocorreu de forma reversível. c) Explique a diferença observada entre os valores de trabalho calculados
Uma quantidade de
a 298 K é comprimida reversivelmente e adiabaticamente de um volume de 20,0 dm
para
. Assumindo comportamento ideal, calcule a temperatura final do
. Dado
.
Considere um gás ideal que ocupa
a 1,33 bar. Calcule o trabalho necessário para comprimir o gás isotermicamente para um volume de 1,50 L a uma pressão constante de 2,00 bar seguido por outra compressão isotérmica para
a uma pressão constante de 3,75 bar. Compare o resultado com o trabalho de compressão do gás isotermicamente e reversivelmente de 2,25 L para
.
Calcule a quantidade mínima de trabalho necessária para comprimir 5,00 mols de um gás ideal isotermicamente a 300 K de um volume de
para
.