Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel circular plano de raio interno a e raio externo b. A carga é distribuida de modo que a densidade carga (carga por unidade de área) é dada por sigma=gamma / r^3, onde r é a distância desde o centro do anel a qualquer ponto deste. Determine A carga total Q em função de gamma, a e b.

Passo 1

Então, a gente tem um anel circular com raio interno e externo . Sobre esse anel, uma quantidade total de carga positiva está espalhada. A densidade de carga, que é a carga por unidade de área, é dada por , onde é a distância do centro do anel até qualquer ponto nele. Nosso objetivo é descobrir como depende de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga total Q = integral sigma , dA é obtida integrando a densidade de carga sobre toda a área do anel. Matemáticamente, isso é:

Passo 3

O anel é uma região circular com dois raios: interno dA = 2pi r , dr e externo . Para integrar sobre essa área, vamos usar coordenadas polares, onde um elemento de área em coordenadas polares é dado por:
Aqui, é o comprimento da circunferência em uma distância do centro, e é uma pequena variação nessa distância.

Passo 4

Substituindo Q = integrala^b gammar^3 times 2pi r , dr e Q = 2pigamma integrala^b 1r^2 , dr na expressão de , temos:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral Q = 2pigamma [ -1r ]a^b . A antiderivada de é , então:

Passo 6

Aplicando os limites de integração, obtemos:
Q = 2pigamma ( -1b + 1a )
Que pode ser reescrito como:
Q = 2pigamma ( 1a - 1b )

Resposta

A carga total Q = 2pigamma ( 1a - 1b ) é dada por:

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