Uma quantidade total de carga positiva
é espalhada sobre um anel circular plano de raio interno
e raio externo b. A carga é distribuida de modo que a densidade carga (carga por unidade de área) é dada por
, onde
é a distância desde o centro do anel a qualquer ponto deste. Determine A carga total
em função de
e
.
Passo 1
Então, a gente tem um anel circular com raio interno
e externo
. Sobre esse anel, uma quantidade total de carga positiva
está espalhada. A densidade de carga, que é a carga por unidade de área, é dada por
, onde
é a distância do centro do anel até qualquer ponto nele. Nosso objetivo é descobrir como
depende de
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga total
é obtida integrando a densidade de carga
sobre toda a área do anel. Matemáticamente, isso é:
Passo 3
O anel é uma região circular com dois raios: interno
e externo
. Para integrar sobre essa área, vamos usar coordenadas polares, onde um elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Aqui,
é o comprimento da circunferência em uma distância
do centro, e
é uma pequena variação nessa distância.
Passo 4
Substituindo
e
na expressão de
, temos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 6
Aplicando os limites de integração, obtemos:
Que pode ser reescrito como:
Resposta
A carga total
é dada por: