© Com que velocidade um objeto se choca contra o planeta, se ele for largado de um ponto situado a 1500 km do centro do planeta? (Dica: lembre que g0=G MP / RP^2=3,00 m / s^2)

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto que é largado de um ponto a 1500 km do centro de um planeta e queremos descobrir com que velocidade ele vai se chocar contra esse planeta. A matéria envolvida aqui é a Gravitação Universal, e vamos precisar usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a distância de 1500 km para metros para facilitar os cálculos:
1500 km = 1.500.000 m

Passo 3

Sabemos que a aceleração da gravidade na superfície do planeta é:
g0 = G MPRP^2 = 3,00 , m/s^2
Aqui, é a constante gravitacional, é a massa do planeta e é o raio do planeta.

Passo 4

Vamos usar a conservação da energia. A energia total no ponto de largada é igual à energia total no ponto de impacto. No ponto de largada, o objeto tem energia potencial gravitacional e sem energia cinética (já que parte do repouso). No impacto, toda essa energia potencial é convertida em energia cinética.
A energia potencial gravitacional é dada por:
U = -G MP mr
E a energia cinética é:
K = 12 m v^2

Passo 5

Aplicando a conservação da energia:
Kimpacto + Uimpacto = Ulargada
Como 12 m v^2 - G MP mRP = -G MP mr e , substituímos:

Passo 6

Simplificando e resolvendo para 12 m v^2 = G MP mRP - G MP mr :
12 v^2 = G MP ( 1RP - 1r )
Dividimos ambos os lados por v^2 = 2 G MP ( 1RP - 1r ) :
Multiplicando por 2:

Passo 7

Vamos relacionar g0 = G MPRP^2 com G MP = g0 RP^2 :
Sabemos que:
v^2 = 2 g0 RP^2 ( 1RP - 1r )
Então,
v^2 = 2 g0 RP ( 1 - RPr )
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 8

Substituindo v = raiz2 g0 RP ( 1 - RP1.500.000 ) e rearranjando:

Resposta

A velocidade com que o objeto se choca contra o planeta é:
v = raiz2 times 3,00 , m/s^2 times RP ( 1 - RP1.500.000 , m )
Para obter um valor numérico, seria necessário conhecer o raio do planeta. Com essa expressão, você pode inserir o valor de e calcular .

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