Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas , e , que depende dos parâmetros e . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de e o sistema terá:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução.
Vamos usar um pouco de álgebra linear para entender como e influenciam nas soluções do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita a aplicação de métodos como o de determinantes para resolver sistemas lineares. O sistema dado é:
x + y - 2z = 0 2x + y + z = b x + a y + z = 0
Podemos representar esse sistema na forma A = 1 & 1 & -2 2 & 1 & 1 1 & a & 1 , x = x y z , B = 0 b 0 , onde:
Passo 3
Para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, precisamos analisar o determinante da matriz det(A) = 1 & 1 & -2 2 & 1 & 1 1 & a & 1 . O determinante nos diz se a matriz é invertível:
Se o determinante de for diferente de zero, o sistema tem uma única solução.
Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo dos valores de .