tenha:
(a) uma única solução;
(b) infinitas soluções;
© nenhuma solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas , e , que depende dos parâmetros e . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de e o sistema terá:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução.
Vamos usar um pouco de álgebra linear para entender como e influenciam nas soluções do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita a aplicação de métodos como o de determinantes para resolver sistemas lineares. O sistema dado é:
Podemos representar esse sistema na forma , onde:

Passo 3

Para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, precisamos analisar o determinante da matriz . O determinante nos diz se a matriz é invertível:
  • Se o determinante de for diferente de zero, o sistema tem uma única solução.
  • Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo dos valores de .
Vamos calcular o determinante de :

Passo 4

Calculando o determinante:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Então:

Passo 5

Agora, vamos analisar o determinante:
  • Uma única solução: Ocorrerá quando .
Portanto, para , o sistema terá uma única solução para qualquer valor de .
  • Infinitas soluções ou nenhuma solução: Acontecerá quando , ou seja:
Agora, precisamos verificar o valor de :
Substituindo na matriz aumentada e ver se o sistema é compatível e determinado, ou incompatível.

Passo 6

Com , vamos verificar as possibilidades:
O sistema se torna:
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar e em termos de :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos e na terceira equação:
Substituindo :

Passo 7

Então, resumindo:
  • a) Uma única solução: Quando , independente de .
  • b) Infinitas soluções: Quando e .
  • c) Nenhuma solução: Quando e .

Resposta

a) O sistema tem uma única solução para todo quando .
b) O sistema tem infinitas soluções quando e .
c) O sistema não tem solução quando e .

Exercícios relacionados

Seja e . Calcule:
1 0 2
3 1 4
2 2 1
Se as quantidades de proteínas , carboidratos e gorduras que a cooperativa tem disponível, nos meses de dezembro e janeiro, são mostradas na tabela abaixo, qual a quantidade de cada tipo de ração é produzido em cada mês?
Quant./mês
Dezembro 15 10 14
Janeiro 13 5 17
(a) Verifique que e é uma solução de ;
(b) Verifique que e também é uma solução de ;
© É verdade que e é uma solução de ?
(d) É verdade que e , onde , y e são como no item , é uma solução de ?
(e) Se as respostas de e forem afirmativas, então responda: Por que isso ocorre?
Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista: