r x+y-2 z=0 2 x+y+z=b x+a y+z=0
tenha:
(a) uma única solução;
(b) infinitas soluções;
© nenhuma solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas , e , que depende dos parâmetros e . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de e o sistema terá:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução.
Vamos usar um pouco de álgebra linear para entender como e influenciam nas soluções do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita a aplicação de métodos como o de determinantes para resolver sistemas lineares. O sistema dado é:
x + y - 2z = 0 2x + y + z = b x + a y + z = 0
Podemos representar esse sistema na forma A = 1 & 1 & -2 2 & 1 & 1 1 & a & 1 , x = x y z , B = 0 b 0 , onde:

Passo 3

Para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, precisamos analisar o determinante da matriz det(A) = 1 & 1 & -2 2 & 1 & 1 1 & a & 1 . O determinante nos diz se a matriz é invertível:
  • Se o determinante de for diferente de zero, o sistema tem uma única solução.
  • Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo dos valores de .
Vamos calcular o determinante de :

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A) = 1 cdot 1 & 1 a & 1 - 1 cdot 2 & 1 1 & 1 + (-2) cdot 2 & 1 1 & a
Calculando cada menor:
1 & 1 a & 1 = (1)(1) - (1)(a) = 1 - a
2 & 1 1 & 1 = (2)(1) - (1)(1) = 2 - 1 = 1
2 & 1 1 & a = (2)(a) - (1)(1) = 2a - 1
Substituindo de volta:
det(A) = 1 cdot (1 - a) - 1 cdot 1 + (-2) cdot (2a - 1) = (1 - a) - 1 - 4a + 2
Simplificando:
det(A) = 1 - a - 1 - 4a + 2 = (-5a) + 2
Então:
det(A) = -5a + 2

Passo 5

Agora, vamos analisar o determinante:
  • Uma única solução: Ocorrerá quando -5a + 2 neq 0 Rightarrow -5a neq -2 Rightarrow a neq 25 .
-5a + 2 = 0 Rightarrow a = 25
Portanto, para , o sistema terá uma única solução para qualquer valor de .
  • Infinitas soluções ou nenhuma solução: Acontecerá quando , ou seja:
Agora, precisamos verificar o valor de :
Substituindo na matriz aumentada e ver se o sistema é compatível e determinado, ou incompatível.

Passo 6

Com x + y - 2z = 0 2x + y + z = b x + 25 y + z = 0 , vamos verificar as possibilidades:
O sistema se torna:
x = -y + 2z
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar 2(-y + 2z) + y + z = b -2y + 4z + y + z = b (-2y + y) + (4z + z) = b -y + 5z = b Rightarrow y = 5z - b e (-y + 2z) + 25y + z = 0 -y + 2z + 25y + z = 0 (-y + 25y) + (2z + z) = 0 (-55y + 25y) + 3z = 0 -35y + 3z = 0 em termos de -35(5z - b) + 3z = 0 -3z + 35b + 3z = 0 35b = 0 Rightarrow b = 0 :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos e na terceira equação:
Substituindo :

Passo 7

Então, resumindo:
  • a) Uma única solução: Quando , independente de .
  • b) Infinitas soluções: Quando e .
  • c) Nenhuma solução: Quando e .

Resposta

a) O sistema tem uma única solução para todo quando .
b) O sistema tem infinitas soluções quando e .
c) O sistema não tem solução quando e .

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