Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas , e , que depende dos parâmetros e . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de e o sistema terá:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução.
Vamos usar um pouco de álgebra linear para entender como e influenciam nas soluções do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita a aplicação de métodos como o de determinantes para resolver sistemas lineares. O sistema dado é:
Podemos representar esse sistema na forma , onde:
Passo 3
Para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, precisamos analisar o determinante da matriz . O determinante nos diz se a matriz é invertível:
Se o determinante de for diferente de zero, o sistema tem uma única solução.
Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo dos valores de .
Vamos calcular o determinante de :
Passo 4
Calculando o determinante:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Então:
Passo 5
Agora, vamos analisar o determinante:
Uma única solução: Ocorrerá quando .
Portanto, para , o sistema terá uma única solução para qualquer valor de .
Infinitas soluções ou nenhuma solução: Acontecerá quando , ou seja:
Agora, precisamos verificar o valor de :
Substituindo na matriz aumentada e ver se o sistema é compatível e determinado, ou incompatível.
Passo 6
Com , vamos verificar as possibilidades:
O sistema se torna:
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar e em termos de :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos e na terceira equação:
Substituindo :
Passo 7
Então, resumindo:
a) Uma única solução: Quando , independente de .
b) Infinitas soluções: Quando e .
c) Nenhuma solução: Quando e .
Resposta
a) O sistema tem uma única solução para todo quando .