Quarta Questão -25 pontos: no espaço livre, é dada por V(r)=V0 a^2 / r^2, onde V0 e a sāo constantes positivas. Determine:
a) O campo vetorial intensidade de campo elétrico ( 6 pontos).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de eletrostática onde o potencial elétrico no espaço livre é dado por . Precisamos descobrir qual é o campo elétrico correspondente a esse potencial. Para isso, vamos usar a relação entre o potencial elétrico e o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial elétrico pela fórmula:
Ou seja, o campo elétrico é igual ao negativo do gradiente do potencial elétrico. O gradiente nos dá a taxa de variação do potencial em diferentes direções.

Passo 3

Como o potencial nabla V = dVdr r depende só da distância e não de nenhuma direção específica, a gente pode simplificar o gradiente usando coordenadas esféricas. Nessa situação, o gradiente de é:
Aqui, é o vetor unitário na direção radial, ou seja, apontando para fora do centro.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de dVdr = ddr ( V0 a^2r^2 ) = -2 V0 a^2r^3 em relação a :
Essa derivada nos mostra como o potencial muda conforme a distância .

Passo 5

Agora, substituímos essa derivada na expressão do campo elétrico:
E = -nabla V = -( -2 V0 a^2r^3 r ) = 2 V0 a^2r^3 r
Assim, enxergamos que o campo elétrico é proporcional a e está na direção radial.

Resposta

O campo elétrico é dado por:
E(r) = 2 V0 a^2r^3 , r

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