Quarta Questão -25 pontos: no espaço livre, é dada por
, onde
e a sāo constantes positivas. Determine:
a) O campo vetorial intensidade de campo elétrico ( 6 pontos).
a) O campo vetorial intensidade de campo elétrico ( 6 pontos).
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de eletrostática onde o potencial elétrico no espaço livre é dado por
. Precisamos descobrir qual é o campo elétrico
correspondente a esse potencial. Para isso, vamos usar a relação entre o potencial elétrico e o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
pela fórmula:
Ou seja, o campo elétrico é igual ao negativo do gradiente do potencial elétrico. O gradiente nos dá a taxa de variação do potencial em diferentes direções.
Passo 3
Como o potencial
depende só da distância
e não de nenhuma direção específica, a gente pode simplificar o gradiente usando coordenadas esféricas. Nessa situação, o gradiente de
é:
Aqui,
é o vetor unitário na direção radial, ou seja, apontando para fora do centro.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Essa derivada nos mostra como o potencial muda conforme a distância
.
Passo 5
Agora, substituímos essa derivada na expressão do campo elétrico:
Assim, enxergamos que o campo elétrico é proporcional a
e está na direção radial.
Resposta
O campo elétrico é dado por: