Quarta Questão -25 pontos: no espaço livre, é dada por
, onde
e a sāo constantes positivas. Determine:
d) A energia total armazenada na caıga (ou, equivalentemente, em seu campo elétrico), na região
(7 pontos).
d) A energia total armazenada na caıga (ou, equivalentemente, em seu campo elétrico), na região
Passo 1
Beleza, vamos mergulhar nesse exercício! A gente precisa calcular a energia total armazenada na carga ou no campo elétrico naquela região específica do espaço, que vai de
até o infinito. O enunciado nos dá a função potencial elétrico
, onde
e
são constantes positivas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia elétrica armazenada no campo, que envolve integração e algumas fórmulas de eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada no campo elétrico é dada pela integral:
Aqui,
é a permissividade do vácuo,
é o campo elétrico, e
é um elemento de volume.
Passo 3
Nosso potencial elétrico é
. Sabemos que o campo elétrico
está relacionado ao potencial pela relação:
Vamos calcular a derivada do potencial para encontrar o campo elétrico.
Passo 4
Calculando a derivada:
Então, o campo elétrico é
.
Passo 5
Agora, vamos substituir
na expressão da energia:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então,
Passo 7
Calculando a integral:
Avaliado de
a
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da energia:
Simplificando:
Resposta
A energia total armazenada na carga na região
é