Quarta Questão -25 pontos: no espaço livre, é dada por V(r)=V0 a^2 / r^2, onde V0 e a sāo constantes positivas. Determine:
d) A energia total armazenada na caıga (ou, equivalentemente, em seu campo elétrico), na região a (7 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos mergulhar nesse exercício! A gente precisa calcular a energia total armazenada na carga ou no campo elétrico naquela região específica do espaço, que vai de até o infinito. O enunciado nos dá a função potencial elétrico , onde e são constantes positivas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia elétrica armazenada no campo, que envolve integração e algumas fórmulas de eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada no campo elétrico é dada pela integral:
U = epsilon02 integral E^2 , dV
Aqui, é a permissividade do vácuo, é o campo elétrico, e é um elemento de volume.

Passo 3

Nosso potencial elétrico é E(r) = -dVdr . Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial pela relação:
Vamos calcular a derivada do potencial para encontrar o campo elétrico.

Passo 4

Calculando a derivada:
E(r) = -ddr ( V0 a^2r^2 ) = -V0 a^2 cdot ( -2r^3 ) = 2 V0 a^2r^3
Então, o campo elétrico é .

Passo 5

Agora, vamos substituir U = epsilon02 integrala^infty ( 2 V0 a^2r^3 )^2 cdot 4pi r^2 , dr na expressão da energia:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
( 2 V0 a^2r^3 )^2 = 4 V0^2 a^4r^6
Então,
U = epsilon02 cdot 4pi cdot 4 V0^2 a^4 integrala^infty 1r^4 , dr

Passo 7

Calculando a integral:
integral 1r^4 , dr = -13 r^3
Avaliado de [ -13 r^3 ]a^infty = 0 - ( -13 a^3 ) = 13 a^3 a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da energia:
U = epsilon02 cdot 4pi cdot 4 V0^2 a^41 cdot 13 a^3 = epsilon02 cdot 4pi cdot 4 V0^2 a3
Simplificando:
U = 8 pi epsilon0 V0^2 a3

Resposta

A energia total armazenada na carga na região U = 8 pi epsilon0 V0^2 a3 é

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