Quarta Questão -25 pontos: no espaço livre, é dada por , onde e a sāo constantes positivas. Determine:
d) A energia total armazenada na caıga (ou, equivalentemente, em seu campo elétrico), na região (7 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos mergulhar nesse exercício! A gente precisa calcular a energia total armazenada na carga ou no campo elétrico naquela região específica do espaço, que vai de até o infinito. O enunciado nos dá a função potencial elétrico , onde e são constantes positivas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia elétrica armazenada no campo, que envolve integração e algumas fórmulas de eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada no campo elétrico é dada pela integral:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é o campo elétrico, e é um elemento de volume.

Passo 3

Nosso potencial elétrico é . Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial pela relação:
Vamos calcular a derivada do potencial para encontrar o campo elétrico.

Passo 4

Calculando a derivada:
Então, o campo elétrico é .

Passo 5

Agora, vamos substituir na expressão da energia:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então,

Passo 7

Calculando a integral:
Avaliado de a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da energia:
Simplificando:

Resposta

A energia total armazenada na carga na região é

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Quarta Questão -25 pontos: no espaço livre, é dada por , onde e a sāo constantes positivas. Determine:
a) O campo vetorial intensidade de campo elétrico ( 6 pontos).
Quarta Questão -25 pontos: no espaço livre, é dada por , onde e a sāo constantes positivas. Determine:
c) A carga contida no interior do raio a ( 6 pontos).
Uma partícula de carga 6 nC está sobre o eixo y na posição y , uma segunda partícula de carga 4 nC está sobre o eixo x na posição . Calcule a força eletrostática exercida sobre uma partícula de carga -2 nC situada na origem do sistema cartesiano.
Calcule o módulo, a direção e o sentido da força de interação eletrostática entre duas partículas com cargas . A primeira partícula está na origem do sistema cartesiano e a segunda na posição . Considere que elas estão no vácuo.