Quatro cabos inelásticos C estão presos à placa P e seguram uma mola de 1 ft de comprimento comprimida 0,25 ft quando o peso não está na placa. Há também uma mola indeformada de 0,5 ft de comprimento dentro desta mola comprimida. Determine a velocidade do bloco de 10 lb quando ele está 2 ft acima da placa, sabendo que depois de atingir a placa, comprime a mola interna, tendo uma rigidez de 50 lb / in, em 0,2 ft. Despreze a massa da placa e das molas e qualquer energia perdida na colisão. Dica: 1 lb / in=12 lb / ft.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um bloco de 10 lb preso por quatro cabos inelásticos a uma placa . Quando nada está sobre a placa, uma mola comprimida tem 1 ft de comprimento e está comprimida em 0,25 ft. Dentro dessa mola comprimida, há outra mola que não está comprimada, com 0,5 ft de comprimento. Queremos descobrir a velocidade do bloco quando ele está 2 ft acima da placa. Depois que o bloco atinge a placa, ele comprime a mola interna com uma rigidez de em 0,2 ft. Vamos usar conceitos de energia potencial e conservação de energia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças envolvidas e como a energia está sendo armazenada e transferida. Quando o bloco está se movendo, ele tem energia cinética devido à sua velocidade. À medida que ele se move para cima, ele ganha energia potencial gravitacional. Quando ele atinge a placa e comprime a mola interna, ele armazena energia potencial elástica na mola. A ideia é igualar a energia cinética inicial do bloco à soma das energias potencial gravitacional e elástica no ponto mais alto.

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial gravitacional ( Ug = m cdot g cdot h ) quando o bloco está 2 ft acima da placa. A fórmula para energia potencial gravitacional é:
Ug = Peso cdot h = 10 , lb times 2 , ft = 20 , ft-lb
Aqui, é a massa, é a aceleração da gravidade, e é a altura. Porém, como estamos trabalhando com unidades de força (lb), podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial elástica ( Ue = 12 k x^2 ) armazenada na mola interna quando ela é comprimida. A fórmula para energia potencial elástica é:
50 , lb/in times 12 , inft = 600 , lb/ft
Onde Ue = 12 times 600 , lb/ft times (0,2 , ft)^2 = 12 times 600 times 0,04 = 12 , ft-lb é a constante da mola e é a compressão. Primeiro, precisamos converter a rigidez da mola de lb/in para lb/ft:
Agora, substituímos os valores:

Passo 5

Vamos agora usar a conservação de energia. A energia cinética inicial ( K = Ug + Ue ) do bloco quando está 2 ft acima da placa ser�� igual à soma das energias potenciais gravitacional e elástica no ponto mais baixo (após a compressão da mola). Então:
K = 12 m v^2
A energia cinética é dada por:
12 times 10 , lbg times v^2 = 20 , ft-lb + 12 , ft-lb
Como estamos usando força (lb) e trabalho (ft-lb), podemos reescrever a equação:
Aqui, é a aceleração devido à gravidade ( ).

Passo 6

Vamos resolver para 20 + 12 = 32 , ft-lb . Primeiro, somamos as energias:
12 times 1032.174 times v^2 = 32
Agora, substituímos na equação da energia cinética:
v^2 = 32 times 2 times 32.17410 = 2046.01610 = 204.6016
Multiplicando ambos os lados por v = raiz204.6016 approx 14.3 , ft/s :
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A velocidade do bloco quando está 2 ft acima da placa é aproximadamente .

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