Quatro estrelas de massas
e
e de mesmo raio
estão alinhadas, sendo que a distância entre cada uma e sua vizinha mais próxima é
. Determine a força resultante sobre cada uma delas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos quatro estrelas alinhadas em uma linha reta, cada uma com massa
e
, todas com o mesmo raio
. A distância entre cada estrela e sua vizinha mais próxima é
, e sabemos que
, ou seja, o raio das estrelas é muito menor que a distância entre elas. Nosso objetivo é encontrar a força resultante sobre cada uma dessas estrelas devido às outras três.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz como calcular a força gravitacional entre dois corpos. Vamos seguir passo a passo para encontrar a força sobre cada estrela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei da Gravitação Universal. Ela diz que a força gravitacional
entre duas massas
e
separadas por uma distância
é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
e são as massas das estrelas, -
é a distância entre os centros das duas massas.
Como as estrelas estão alinhadas, a direção da força será ao longo da linha que une as estrelas.
Passo 3
Vamos considerar cada estrela individualmente e calcular a força resultante sobre ela devido às outras três estrelas.
Estrela 1 (
):
As estrelas estão alinhadas, então a estrela 1 está próxima das estrelas 2, 3 e 4, mas as distâncias entre elas são diferentes.
-
Força entre
e : A direção dessa força é para a direita (em direção à estrela 2). -
Força entre
e :
A distância entree é . A direção também é para a direita. -
Força entre
e :
A distância entree é . A direção é para a direita.
Como todas as forças estão na mesma direção, a força resultante sobre
é a soma dessas forças:
Passo 4
Vamos agora calcular a força resultante sobre a segunda estrela,
.
Estrela 2 (
):
-
Força entre
e : Direção para a esquerda (em direção à estrela 1). -
Força entre
e : Direção para a direita (em direção à estrela 3). -
Força entre
e :
A distância entree é . Direção para a direita.
A força resultante será a soma vetorial dessas forças. Como
está para a esquerda e
e
estão para a direita:
Passo 5
Agora, vamos calcular a força resultante sobre a terceira estrela,
.
Estrela 3 (
):
-
Força entre
e : Direção para a esquerda (em direção à estrela 1). -
Força entre
e : Direção para a esquerda (em direção à estrela 2). -
Força entre
e : Direção para a direita (em direção à estrela 4).
A força resultante será:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a força resultante sobre a quarta estrela,
.
Estrela 4 (
):
-
Força entre
e : Direção para a esquerda (em direção à estrela 1). -
Força entre
e : Direção para a esquerda (em direção à estrela 2). -
Força entre
e : Direção para a esquerda (em direção à estrela 3).
A força resultante será:
Resposta
As forças resultantes sobre cada estrela são:
Essas expressões representam as forças resultantes sobre cada uma das quatro estrelas devido às interações gravitacionais com as outras estrelas na configuração apresentada.
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