Quatro estrelas de massas M1, M2, M3 e M4 e de mesmo raio R estão alinhadas, sendo que a distância entre cada uma e sua vizinha mais próxima é d(R ll d). Determine a força resultante sobre cada uma delas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos quatro estrelas alinhadas em uma linha reta, cada uma com massa e , todas com o mesmo raio . A distância entre cada estrela e sua vizinha mais próxima é , e sabemos que , ou seja, o raio das estrelas é muito menor que a distância entre elas. Nosso objetivo é encontrar a força resultante sobre cada uma dessas estrelas devido às outras três.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz como calcular a força gravitacional entre dois corpos. Vamos seguir passo a passo para encontrar a força sobre cada estrela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei da Gravitação Universal. Ela diz que a força gravitacional F = G m1 m2r^2 entre duas massas e separadas por uma distância é dada por:
Onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • e são as massas das estrelas,
  • é a distância entre os centros das duas massas.
Como as estrelas estão alinhadas, a direção da força será ao longo da linha que une as estrelas.

Passo 3

Vamos considerar cada estrela individualmente e calcular a força resultante sobre ela devido às outras três estrelas.

Estrela 1 ( F12 = G M1 M2d^2 ):

As estrelas estão alinhadas, então a estrela 1 está próxima das estrelas 2, 3 e 4, mas as distâncias entre elas são diferentes.
  • Força entre F13 = G M1 M3(2d)^2 = G M1 M34d^2 e F14 = G M1 M4(3d)^2 = G M1 M49d^2 :
    FR1 = F12 + F13 + F14 = G M1 M2d^2 + G M1 M34d^2 + G M1 M49d^2
    A direção dessa força é para a direita (em direção à estrela 2).
  • Força entre e :
    A distância entre e é .
    A direção também é para a direita.
  • Força entre e :
    A distância entre e é .
    A direção é para a direita.
Como todas as forças estão na mesma direção, a força resultante sobre é a soma dessas forças:

Passo 4

Vamos agora calcular a força resultante sobre a segunda estrela, F21 = G M2 M1d^2 .

Estrela 2 ( F23 = G M2 M3d^2 ):

  • Força entre F24 = G M2 M4(2d)^2 = G M2 M44d^2 e FR2 = F23 + F24 - F21 = G M2 M3d^2 + G M2 M44d^2 - G M2 M1d^2 :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 1).
  • Força entre e :
    Direção para a direita (em direção à estrela 3).
  • Força entre e :
    A distância entre e é .
    Direção para a direita.
A força resultante será a soma vetorial dessas forças. Como está para a esquerda e e estão para a direita:

Passo 5

Agora, vamos calcular a força resultante sobre a terceira estrela, F31 = G M3 M1(2d)^2 = G M3 M14d^2 .

Estrela 3 ( F32 = G M3 M2d^2 ):

  • Força entre F34 = G M3 M4d^2 e FR3 = F34 - F31 - F32 = G M3 M4d^2 - G M3 M14d^2 - G M3 M2d^2 :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 1).
  • Força entre e :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 2).
  • Força entre e :
    Direção para a direita (em direção à estrela 4).
A força resultante será:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a força resultante sobre a quarta estrela, F41 = G M4 M1(3d)^2 = G M4 M19d^2 .

Estrela 4 ( F42 = G M4 M2(2d)^2 = G M4 M24d^2 ):

  • Força entre F43 = G M4 M3d^2 e FR4 = -F41 - F42 - F43 = -G M4 M19d^2 - G M4 M24d^2 - G M4 M3d^2 :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 1).
  • Força entre e :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 2).
  • Força entre e :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 3).
A força resultante será:

Resposta

As forças resultantes sobre cada estrela são:
FR1 &= G ( M1 M2d^2 + M1 M34d^2 + M1 M49d^2 ) FR2 &= G ( M2 M3d^2 + M2 M44d^2 - M2 M1d^2 ) FR3 &= G ( M3 M4d^2 - M3 M14d^2 - M3 M2d^2 ) FR4 &= -G ( M4 M19d^2 + M4 M24d^2 + M4 M3d^2 )
Essas expressões representam as forças resultantes sobre cada uma das quatro estrelas devido às interações gravitacionais com as outras estrelas na configuração apresentada.

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