Quatro estrelas de massas e e de mesmo raio estão alinhadas, sendo que a distância entre cada uma e sua vizinha mais próxima é . Determine a força resultante sobre cada uma delas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos quatro estrelas alinhadas em uma linha reta, cada uma com massa e , todas com o mesmo raio . A distância entre cada estrela e sua vizinha mais próxima é , e sabemos que , ou seja, o raio das estrelas é muito menor que a distância entre elas. Nosso objetivo é encontrar a força resultante sobre cada uma dessas estrelas devido às outras três.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz como calcular a força gravitacional entre dois corpos. Vamos seguir passo a passo para encontrar a força sobre cada estrela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei da Gravitação Universal. Ela diz que a força gravitacional entre duas massas e separadas por uma distância é dada por:
Onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • e são as massas das estrelas,
  • é a distância entre os centros das duas massas.
Como as estrelas estão alinhadas, a direção da força será ao longo da linha que une as estrelas.

Passo 3

Vamos considerar cada estrela individualmente e calcular a força resultante sobre ela devido às outras três estrelas.

Estrela 1 ( ):

As estrelas estão alinhadas, então a estrela 1 está próxima das estrelas 2, 3 e 4, mas as distâncias entre elas são diferentes.
  • Força entre e :
    A direção dessa força é para a direita (em direção à estrela 2).
  • Força entre e :
    A distância entre e é .
    A direção também é para a direita.
  • Força entre e :
    A distância entre e é .
    A direção é para a direita.
Como todas as forças estão na mesma direção, a força resultante sobre é a soma dessas forças:

Passo 4

Vamos agora calcular a força resultante sobre a segunda estrela, .

Estrela 2 ( ):

  • Força entre e :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 1).
  • Força entre e :
    Direção para a direita (em direção à estrela 3).
  • Força entre e :
    A distância entre e é .
    Direção para a direita.
A força resultante será a soma vetorial dessas forças. Como está para a esquerda e e estão para a direita:

Passo 5

Agora, vamos calcular a força resultante sobre a terceira estrela, .

Estrela 3 ( ):

  • Força entre e :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 1).
  • Força entre e :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 2).
  • Força entre e :
    Direção para a direita (em direção à estrela 4).
A força resultante será:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a força resultante sobre a quarta estrela, .

Estrela 4 ( ):

  • Força entre e :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 1).
  • Força entre e :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 2).
  • Força entre e :
    Direção para a esquerda (em direção à estrela 3).
A força resultante será:

Resposta

As forças resultantes sobre cada estrela são:
Essas expressões representam as forças resultantes sobre cada uma das quatro estrelas devido às interações gravitacionais com as outras estrelas na configuração apresentada.

Exercícios relacionados

Calcule a que distância da Terra este objeto deveria estar para que a força gravitacional fosse a mesma do item anterior, expressando a resposta em termos do raio da Terra.
A força é suficiente para manter o bloco de massa em equilíbrio. Desprezando o atrito e a massa das roldanas, mostre que a tensão no cabo superior vale .
Um bloco é lançado para cima, com velocidade inicial , sobre um plano inclinado sem atrito ( com a horizontal). Até que distância o bloco desliza sobre o plano inclinado?
Um homem senta-se em um elevador de obra e puxa a extremidade livre da corda para se levantar. Sendo a massa total do homem e do elevador, com que força ele deve puxar a corda para se levantar com velocidade constante?