Quatro massas m estão fixas nas extremidades de quatro hastes, que formam entre elas um retângulo de lados 2 a e 2 b; cada massa está, assim, em um dos vértices do retângulo. A massa das hastes é desprezível. O sistema gira ao redor de um eixo paralelo ao lado de comprimento 2 a, passando pelo centro do retângulo. (a) Determine o momento de inércia em torno deste eixo e a energia cinética de rotação, dada a velocidade angular omega. (b) Determine o momento de inércia do mesmo sistema, agora em relação a um eixo paralelo ao primeiro só que passando sobre duas das massas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre quatro massas fixadas nos vértices de um retângulo com lados e . Essas massas estão conectadas por hastes que não têm massa. O sistema está girando em torno de um eixo paralelo ao lado de comprimento , que passa pelo centro do retângulo. Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar o momento de inércia em torno desse eixo e a energia cinética de rotação, dada a velocidade angular .
b) Determinar o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao primeiro, mas que passa por duas das massas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). O momento de inércia ( I = m times r^2 ) é uma medida que indica como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
Para cada massa , a contribuição para o momento de inércia é dada por:
onde é a distância da massa ao eixo de rotação.

Passo 3

No nosso caso, o retângulo tem lados r = raiza^2 + b^2 e , e o eixo de rotação passa pelo centro. Então, a distância de cada massa ao eixo central é a hipotenusa do triângulo formado por e :

Passo 4

Como temos quatro massas, o momento de inércia total ( I = 4 times m times (a^2 + b^2) ) em relação ao eixo central será:
Isso porque cada uma das quatro massas contribui com .

Passo 5

Agora, para encontrar a energia cinética de rotação ( Ecin = 12 I omega^2 ), usamos a fórmula:
Ecin = 12 times 4m(a^2 + b^2) times omega^2 = 2m(a^2 + b^2)omega^2
Substituindo o valor de :

Passo 6

Passando para a parte (b), queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao primeiro, mas que passa por duas das massas. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos (também conhecido como Teorema de Steiner), que nos diz que:
I' = I + M d^2
onde:
  • é o momento de inércia em relação ao novo eixo,
  • é o momento de inércia em relação ao eixo central,
  • é a massa total do sistema,
  • é a dist��ncia entre os dois eixos.

Passo 7

No nosso caso:
  • (porque temos quatro massas),
  • A distância entre o eixo central e o novo eixo que passa por duas massas é igual a (já que as massas estão a uma distância do centro no eixo vertical).

Passo 8

Aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos:
I' = 4m(a^2 + b^2) + 4m times b^2 = 4m a^2 + 8m b^2

Resposta

a) O momento de inércia em torno do eixo central é e a energia cinética de rotação é .
b) O momento de inércia em relação ao eixo paralelo que passa por duas das massas é .

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