Quatro massas
estão fixas nas extremidades de quatro hastes, que formam entre elas um retângulo de lados
e
; cada massa está, assim, em um dos vértices do retângulo. A massa das hastes é desprezível. O sistema gira ao redor de um eixo paralelo ao lado de comprimento
, passando pelo centro do retângulo. (a) Determine o momento de inércia em torno deste eixo e a energia cinética de rotação, dada a velocidade angular
. (b) Determine o momento de inércia do mesmo sistema, agora em relação a um eixo paralelo ao primeiro só que passando sobre duas das massas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre quatro massas
fixadas nos vértices de um retângulo com lados
e
. Essas massas estão conectadas por hastes que não têm massa. O sistema está girando em torno de um eixo paralelo ao lado de comprimento
, que passa pelo centro do retângulo. Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar o momento de inércia em torno desse eixo e a energia cinética de rotação, dada a velocidade angular
.
b) Determinar o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao primeiro, mas que passa por duas das massas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). O momento de inércia (
) é uma medida que indica como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
Para cada massa
, a contribuição para o momento de inércia é dada por:
onde
é a distância da massa ao eixo de rotação.
Passo 3
No nosso caso, o retângulo tem lados
e
, e o eixo de rotação passa pelo centro. Então, a distância de cada massa ao eixo central é a hipotenusa do triângulo formado por
e
:
Passo 4
Como temos quatro massas, o momento de inércia total (
) em relação ao eixo central será:
Isso porque cada uma das quatro massas contribui com
.
Passo 5
Agora, para encontrar a energia cinética de rotação (
), usamos a fórmula:
Substituindo o valor de
:
Passo 6
Passando para a parte (b), queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao primeiro, mas que passa por duas das massas. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos (também conhecido como Teorema de Steiner), que nos diz que:
onde:
-
é o momento de inércia em relação ao novo eixo, -
é o momento de inércia em relação ao eixo central, -
é a massa total do sistema, -
é a dist��ncia entre os dois eixos.
Passo 7
No nosso caso:
-
(porque temos quatro massas), - A distância
entre o eixo central e o novo eixo que passa por duas massas é igual a (já que as massas estão a uma distância do centro no eixo vertical).
Passo 8
Aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos:
Resposta
a) O momento de inércia em torno do eixo central é
e a energia cinética de rotação é
.
b) O momento de inércia em relação ao eixo paralelo que passa por duas das massas é
.