Quatro partículas iguais de massa 0,50 kg cada uma são colocadas nos vértices de um quadrado de 2,0 m x 2,0 m e mantidas nessa posição por quatro barras de massa desprezível, que forma os lados do quadrado. Qual é momento de inércia desse corpo rígido em relação a um eixo que está no plano do quadrado e passa por duas partículas diagonalmente opostas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos quatro partículas iguais, cada uma com massa de 0,50 kg, posicionadas nos cantos de um quadrado de lado 2,0 metros. Essas partículas estão conectadas por barras que não têm massa. Queremos descobrir o momento de inércia desse conjunto em relação a um eixo que está no próprio plano do quadrado e passa por duas partículas que estão em cantos opostos, ou seja, pelas diagonais do quadrado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para partículas em diferentes posições relativas ao eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de quanto um objeto resiste à rotação em torno de um eixo. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula básica para o momento de inércia $ I $ de uma partícula é:
I
onde $ m $ é a massa da partícula e $ r $ é a distância da partícula ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos identificar as distâncias das partículas ao eixo de rotação. O eixo passa por duas partículas diagonais do quadrado, então duas das partículas estão diretamente no eixo, ou seja, têm distância $ r = 0 $ em relação ao eixo. As outras duas partículas estão nos outros cantos e precisamos calcular a distância delas ao eixo.
Como o eixo está passando por duas diagonais, as duas partículas restantes formam um triângulo isósceles com o eixo. A distância dessas duas partículas ao eixo é igual à metade da diagonal do quadrado.
Primeiro, calculamos a diagonal do quadrado usando o Teorema de Pitágoras:
r = 0
Então, a distância $ r $ de cada uma dessas partículas ao eixo é metade da diagonal:
d = raiz2 times lado = raiz2 times 2,0,m approx 2,828,m

Passo 4

Agora que temos as distâncias, vamos calcular o momento de inércia de cada partícula:
  • Para as duas partículas no eixo:
    I = m times r^2 = 0,50,kg times (0)^2 = 0,kg cdot m^2
  • Para as outras duas partículas:
    I = m times r^2 = 0,50,kg times (1,414,m)^2 approx 0,50,kg times 2,00,m^2 = 1,00,kg cdot m^2

Passo 5

Finalmente, somamos os momentos de inércia de todas as partículas para obter o momento de inércia total do sistema:
Itotal = 0,kg cdot m^2 + 0,kg cdot m^2 + 1,00,kg cdot m^2 + 1,00,kg cdot m^2 = 2,00,kg cdot m^2

Resposta

O momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo especificado é de 2,00 kg·m².

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