QUESTÃO 03(4,0pts) - Calcule as integrais:
b) integral (x-1)(x+1) x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! Temos que calcular a integral . Isso está na área de cálculo integral, especificamente usando técnicas de simplificação e substituição. Vamos precisar manipular a expressão algébrica e possivelmente usar a substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador. Observe que (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 é uma diferença de quadrados. Vamos multiplicar esses dois termos:
integral (x^2 - 1) x(x^2+1)^3 , dx
Então, substituindo na integral:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar (x^2 - 1) x = x^3 - x pelo que está no numerador:
integral x^3 - x(x^2+1)^3 , dx
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
integral x^3(x^2+1)^3 , dx - integral x(x^2+1)^3 , dx

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx . Para isso, fazemos uma substituição. Vamos definir:
integral x^3u^3 , dx = integral x(u - 1)u^3 cdot du2 = 12 integral u - 1u^3 , du = 12 integral ( 1u^2 - 1u^3 ) , du
Mas temos 12 ( -1u + 12u^2 ) + C na integral, o que podemos reescrever como 12 ( -1x^2 + 1 + 12(x^2 + 1)^2 ) + C . Sabendo que , substituímos:
Integrando termo a termo:
Substituindo de volta :

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx . Usamos a mesma substituição que antes:
12 integral 1u^3 , du = 12 cdot ( -12u^2 ) + C = -14u^2 + C
Então, a integral fica:
-14(x^2 + 1)^2 + C
Substituindo :

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
12 ( -1x^2 + 1 + 12(x^2 + 1)^2 ) - 14(x^2 + 1)^2 + C
Simplificando os termos:
-12(x^2 + 1) + 14(x^2 + 1)^2 - 14(x^2 + 1)^2 + C = -12(x^2 + 1) + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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