QUESTÃO 03(4,0pts) - Calcule as integrais:
0^x
a) integral 2 cos theta sin theta1+sin ^2 theta d theta

Passo 1

Vamos resumir a questão: Precisamos calcular a integral definida de a da função .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com cálculo de integrais, especialmente envolvendo funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre substituição em integrais e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral:
integral 2 cos theta sin theta1 + sin^2 theta , dtheta
Notamos que o numerador se assemelha à derivada de , o que sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos usar a substituição:
u = sin theta
Então, derivando ambos os lados em relação a du = cos theta , dtheta :
2u , du = 2 sin theta cos theta , dtheta
Multiplicando ambos os lados por 2 :

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
integral 2u , du1 + u^2 = integral 2u1 + u^2 , du
Essa é uma forma que podemos integrar facilmente usando regras b��sicas de integração.

Passo 5

Integrando:
integral 2u1 + u^2 , du = ln|1 + u^2| + C
Substituindo de volta ln(1 + sin^2 theta) + C :

Resposta

A integral definida de ln(1 + sin^2 x) - ln(1 + sin^2 0) = ln(1 + sin^2 x) a ln(1 + sin^2 x) é:
Como , simplificamos para:

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