QUESTÃO 03 (2,00 PONTOS): Um disco plástico de diâmetro 10 cm é carregado uniformemente com um excesso de elétrons de 10^11 elétrons. Qual é o campo elétrico 1,0 mm acima do centro disco?

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos um disco plástico com diâmetro de 10 cm carregado uniformemente com um excesso de 10^11 elétrons. Precisamos determinar o campo elétrico a uma distância de 1,0 mm acima do centro do disco. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática relacionados ao campo elétrico gerado por distribuições contínuas de carga, especificamente um disco carregado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total presente no disco. Sabemos que cada elétron possui uma carga de -e, onde e = 1,6 times 10^-19 C. Portanto, a carga total Q é dada por:
Q = N cdot (-e) = 10^11 cdot (-1,6 times 10^-19 C) = -1,6 times 10^-8 C

Passo 3

Como a carga está distribuída uniformemente no disco, podemos determinar a densidade superficial de carga sigma, que é a carga por unidade de área. Primeiro, calculamos o raio do disco:
r = D2 = 10 cm2 = 5 cm = 0,05 m
A área A do disco é:
A = pi r^2 = pi (0,05 m)^2 = pi times 0,0025 m^2 approx 0,00785 m^2
Assim, a densidade superficial de carga é:
sigma = QA = -1,6 times 10^-8 C0,00785 m^2 approx -2,04 times 10^-6 C/m^2

Passo 4

Agora, para encontrar o campo elétrico acima do centro do disco, usamos a fórmula para o campo elétrico no eixo de um disco carregado uniformemente:
E = sigma2varepsilon0 (1 - zraizz^2 + r^2 )
Onde:
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 C^2/(N cdot m^2) é a permissividade do vácuo,
  • z é a distância acima do disco ( 1,0 mm = 0,001 m),
  • r é o raio do disco.

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
sigma = -2,04 times 10^-6 C/m^2
z = 0,001 m
r = 0,05 m
varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 C^2/(N cdot m^2)
Então:
E = -2,04 times 10^-62 times 8,85 times 10^-12 (1 - 0,001raiz(0,001)^2 + (0,05)^2 )

Passo 6

Calculando o termo dentro dos parênteses:
raiz(0,001)^2 + (0,05)^2 = raiz1 times 10^-6 + 0,0025 approx raiz0,002501 approx 0,05 m
Portanto:
1 - 0,0010,05 = 1 - 0,02 = 0,98

Passo 7

Agora, calculando o valor do campo elétrico:
E = -2,04 times 10^-62 times 8,85 times 10^-12 times 0,98
E = -2,04 times 10^-61,77 times 10^-11 times 0,98 approx -1,13 times 10^5 N/C

Resposta

O campo elétrico acima do centro do disco é aproximadamente 1,13 times 10^5 N/C.

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