QUESTÃO 03(4,0pts) - Calcule as integrais:
d) integral(4 x-1) ln x d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de Integração por Partes. Para isso, vamos precisar identificar duas partes da função que vamos designar como e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será u = ln x e dv = (4x - 1) , dx e o que será . Na integração por partes, geralmente escolhemos como a parte que simplifica ao derivar e como a parte que é fácil de integrar. Aqui, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 1x , dx (derivada de (ln x)) para encontrar v = integral (4x - 1) , dx = 2x^2 - x (integrando termo a termo) e integrar para encontrar :

Passo 4

Aplique a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (4x - 1) ln x , dx = ln x cdot (2x^2 - x) - integral (2x^2 - x) cdot 1x , dx

Passo 5

Simplifique a integral restante:
integral (2x^2 - x) cdot 1x , dx = integral (2x - 1) , dx
Agora, integramos:
integral (2x - 1) , dx = x^2 - x + C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Substitua de volta na expressão original:
integral (4x - 1) ln x , dx = (2x^2 - x) ln x - (x^2 - x) + C
Podemos fatorar para simplificar:
= (2x^2 - x) ln x - x^2 + x + C

Resposta

A integral (2x^2 - x) ln x - x^2 + x + C é igual a:

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