QUESTÃO 03(4,0pts) - Calcule as integrais:
c) integral x(x+2)raizx^3+3 x^2+1 d x
0^4

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que temos aqui. Precisamos calcular a integral definida de de até . Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo substituição, já que a expressão dentro da raiz parece complicada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador: . Observando o numerador , percebemos que ele pode estar relacionado com a derivada do que está dentro da raiz. Vamos tentar isso!

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
u = x^3 + 3x^2 + 1
Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 + 6x em relação a du = (3x^2 + 6x) dx :
Ou seja:

Passo 4

Vamos ver se conseguimos expressar o numerador x(x + 2) = x^2 + 2x em termos de du = 3(x^2 + 2x) dx = 3 cdot (x^2 + 2x) dx . Simplificando o numerador:
x^2 + 2x = du3
Perceba que , então:
Isso significa que:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral usando a substituição que fizemos:
integral x(x+2)raizx^3+3x^2+1 dx = integral x^2 + 2xraizu dx = integral du3raizu = 13 integral u^-1/2 du

Passo 6

Vamos integrar 13 integral u^-1/2 du = 13 cdot 2u^1/2 + C = 23 raizu + C :
23 raizx^3 + 3x^2 + 1 + C
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de [ 23 raizx^3 + 3x^2 + 1 ]0^4 = 23 ( raiz4^3 + 3 cdot 4^2 + 1 - raiz0^3 + 3 cdot 0^2 + 1 ) a :

Passo 8

Calculando os valores:
raiz4^3 + 3 cdot 4^2 + 1 = raiz64 + 48 + 1 = raiz113
raiz0^3 + 3 cdot 0^2 + 1 = raiz1 = 1

Passo 9

Substituindo de volta:
23 (raiz113 - 1)

Resposta

A integral vale .

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