QUESTÃO 03(4,0pts) - Calcule as integrais:
c)
c)
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que temos aqui. Precisamos calcular a integral definida de
de
até
. Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo substituição, já que a expressão dentro da raiz parece complicada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador:
. Observando o numerador
, percebemos que ele pode estar relacionado com a derivada do que está dentro da raiz. Vamos tentar isso!
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Ou seja:
Passo 4
Vamos ver se conseguimos expressar o numerador
em termos de
. Simplificando o numerador:
Perceba que
, então:
Isso significa que:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral usando a substituição que fizemos:
Passo 6
Vamos integrar
:
Substituindo
de volta:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 8
Calculando os valores:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
A integral vale
.