QUESTÃO 04(2,0pts) - Calcule
integral x^2+4 xx^2-4 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em Integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e utilizar técnicas de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( x^2 + 4xx^2 - 4 = 1 + 4x + 4x^2 - 4 ) é igual ao grau do denominador ( ). Então, vamos dividir por :

Passo 3

Agora, a integral fica dividida em duas partes:
integral x^2 + 4xx^2 - 4 , dx = integral 1 , dx + integral 4x + 4x^2 - 4 , dx

Passo 4

Calculamos a primeira integral facilmente:
integral 1 , dx = x

Passo 5

Para a segunda integral, integral 4xx^2 - 4 , dx + integral 4x^2 - 4 , dx , vamos separar os termos:

Passo 6

Primeiro, resolvemos integral 4xx^2 - 4 , dx = 2 ln|x^2 - 4| usando substituição. Seja , então , ou seja, . Substituindo:

Passo 7

Agora, resolvemos 4x^2 - 4 = 1x - 2 - 1x + 2 usando frações parciais. Sabemos que:
integral 4x^2 - 4 , dx = ln|x - 2| - ln|x + 2|
Então,

Resposta

Juntando todas as partes, a integral é:
integral x^2 + 4xx^2 - 4 , dx = x + 2 ln|x^2 - 4| + ln|x - 2x + 2| + C

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