Questão 11. Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa m= 1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente k eq =1.5 MN / m. O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical UACSA Universidade Federal Rural de Pernambuco Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Disciplina: Vibrações Mecânicas Professor: Thiago Araujo Simões com curso de 0.45 m a 500 rpm . O curso é definido como curso = 2e. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, Xp é de 0.01 m . Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um motor diesel de 1100 kg montado em isoladores com uma rigidez de . Além disso, o pistão e a biela têm uma massa de 26 kg e se movem de forma harmônica com um curso de 0,45 m a 500 rpm. Foi observado que a amplitude de vibração em regime permanente é de 0,01 m. Precisamos calcular o coeficiente de amortecimento deste sistema. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de vibrações mecânicas, especificamente o movimento harmônico amortecido.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades que temos para facilitar os cálculos. A frequência de rotação é de 500 rpm (rotações por minuto). Para trabalhar com segundos, vamos converter para Hz (hertz):
Frequência (f) = 500 , rpm60 approx 8,333 , Hz ê

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular a frequência angular ( omega = 2pi f ) do sistema, que está relacionada à frequência em Hz pela fórmula:
omega = 2pi times 8,333 approx 52,36 , rad/s
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular a massa total do sistema. Somamos a massa do motor e a massa do pistão e biela:
mtotal = 1100 , kg + 26 , kg = 1126 , kg

Passo 5

O próximo passo é encontrar a frequência natural ( omegan = raizkeqmtotal ) do sistema sem amortecimento. A frequência natural é dada por:
omegan = raiz1,5 times 10^61126 approx raiz1331,12 approx 36,48 , rad/s
Substituindo os valores:

Passo 6

Com a frequência aplicada ( r = omegaomegan = 52,3636,48 approx 1,434 ) e a frequência natural ( ), podemos calcular a razão das frequências:

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da amplitude em regime permanente para um sistema amortecido sujeito a excitação harmônica:
Xp = F0keq times 1raiz(1 - r^2)^2 + (2zeta r)^2
Onde:
  • F0 = keq times e = 1,5 times 10^6 times 0,225 = 337500 , N é a amplitude de vibração (0,01 m).
  • é a força de excitação.
  • é a razão de amortecimento que queremos encontrar.
Assumindo que a força de excitação está relacionada ao deslocamento máximo ( ) pela rigidez:

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula da amplitude:
0,01 = 3375001,5 times 10^6 times 1raiz(1 - 1,434^2)^2 + (2zeta times 1,434)^2
Calculando o primeiro termo:
3375001,5 times 10^6 = 0,225 , m
Então:
0,01 = 0,225 times 1raiz(1 - 2,056)^2 + (2,868zeta)^2

Passo 9

Rearranjando para isolar a raiz quadrada:
raiz(1 - 2,056)^2 + (2,868zeta)^2 = 0,2250,01 = 22,5
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(1 - 2,056)^2 + (2,868zeta)^2 = 22,5^2
(-1,056)^2 + (2,868zeta)^2 = 506,25
1,115 + 8,236zeta^2 = 506,25

Passo 10

Isolando 8,236zeta^2 = 506,25 - 1,115 :
8,236zeta^2 = 505,135
zeta^2 = 505,1358,236 approx 61,31
zeta = raiz61,31 approx 7,83

Passo 11

Finalmente, usando a definição da razão de amortecimento ( zeta = c2raizkeq mtotal ):
c = 2zetaraizkeq mtotal
Isolando c = 2 times 7,83 times raiz1,5 times 10^6 times 1126 approx 15,66 times raiz1,689 times 10^9 approx 15,66 times 4111,9 approx 64312 , N·s/m :
Substituindo os valores:

Resposta

O coeficiente de amortecimento do sistema é aproximadamente .

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