O sistema é composto por uma barra horizontal de massa mh=2 , kg; uma barra vertical de massa mv=1 , kg e um corpo rígido de massa m=0.5 , kg. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que a=0.5 , m e b=0.4 , m, encontre:
A força em uma das molas para t=0.5 , s.(amortecimento do item a)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema que pode girar em torno de um ponto chamado o. Esse sistema é composto por:
  • Uma barra horizontal com massa
  • Uma barra vertical com massa
  • Um corpo rígido com massa
Sabemos que a frequência natural do sistema é de 15 Hz, e os comprimentos e . O que precisamos encontrar é a força em uma das molas no tempo , considerando o amortecimento do item a.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica vibratória, especificamente sobre frequência natural, sistemas amortecidos e força das molas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia total do sistema em relação ao ponto de rotação o. O momento de inércia é uma medida de quanta energia é necessária para rotacionar um objeto.
A fórmula para o momento de inércia I = 13 m L^2 de uma barra que gira em torno de uma extremidade é:
Ih = 13 times 2 , kg times (0.5 , m)^2 = 13 times 2 times 0.25 = 13 times 0.5 = 0.1667 , kg·m^2
onde Iv = 13 times 1 , kg times (0.4 , m)^2 = 13 times 1 times 0.16 = 0.0533 , kg·m^2 é a massa e Im = m times b^2 = 0.5 , kg times (0.4 , m)^2 = 0.5 times 0.16 = 0.08 , kg·m^2 é o comprimento da barra.
Calculando para cada parte:
  • Barra horizontal:
Itotal = Ih + Iv + Im = 0.1667 + 0.0533 + 0.08 = 0.3 , kg·m^2
  • Barra vertical:
  • Corpo rígido (assumindo que está a uma distância do ponto o):
Somando todos:

Passo 3

Agora, vamos relacionar a frequência natural fn = 12pi raizkI com o momento de inércia e a constante elástica efetiva k = (2pi fn)^2 times I do sistema de molas.
A frequência natural para um sistema rotacional é dada por:
k = (2pi times 15)^2 times 0.3
Queremos encontrar a constante elástica k = (30pi)^2 times 0.3 . Rearranjando a fórmula:
k = 900pi^2 times 0.3 = 270pi^2 approx 270 times 9.8696 approx 2664.792 , N/m
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos a constante elástica F(t) = -k x(t) - c dx(t)dt , vamos considerar o amortecimento do sistema. Para sistemas amortecidos, a força nas molas também depende da velocidade e da posição.
A força total F(t) approx -k x(t) em uma mola para um sistema amortecido é dada por:
onde é o coeficiente de amortecimento e é o deslocamento no tempo .
No entanto, como o enunciado não forneceu o coeficiente de amortecimento , vamos assumir que a força seja principalmente elástica e que o amortecimento seja pequeno. Assim, podemos focar na parte elástica:

Passo 5

Precisamos encontrar o deslocamento x(t) = A cos(2pi fn t + phi) no tempo x(t) = cos(2pi times 15 times 0.5) = cos(15pi) = cos(pi) = -1 . Para um sistema vibratório sem amortecimento, o deslocamento é dado por:
onde é a amplitude e é a fase inicial.
Sem informações sobre e , vamos assumir que e para simplificar:

Passo 6

Agora, substituímos F(t) = -k x(t) = -2664.792 times (-1) = 2664.792 , N na equação da força:

Resposta

A força em uma das molas para é aproximadamente .

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