O sistema é composto por uma barra horizontal de massa
; uma barra vertical de massa
e um corpo rígido de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que
e
, encontre:
A força em uma das molas para
.(amortecimento do item a)
A força em uma das molas para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema que pode girar em torno de um ponto chamado o. Esse sistema é composto por:
- Uma barra horizontal com massa
- Uma barra vertical com massa
- Um corpo rígido com massa
Sabemos que a frequência natural do sistema é de 15 Hz, e os comprimentos
e
. O que precisamos encontrar é a força em uma das molas no tempo
, considerando o amortecimento do item a.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica vibratória, especificamente sobre frequência natural, sistemas amortecidos e força das molas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia total do sistema em relação ao ponto de rotação o. O momento de inércia é uma medida de quanta energia é necessária para rotacionar um objeto.
A fórmula para o momento de inércia
de uma barra que gira em torno de uma extremidade é:
onde
é a massa e
é o comprimento da barra.
Calculando para cada parte:
- Barra horizontal:
- Barra vertical:
- Corpo rígido (assumindo que está a uma distância
do ponto o):
Somando todos:
Passo 3
Agora, vamos relacionar a frequência natural
com o momento de inércia e a constante elástica efetiva
do sistema de molas.
A frequência natural para um sistema rotacional é dada por:
Queremos encontrar a constante elástica
. Rearranjando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora que temos a constante elástica
, vamos considerar o amortecimento do sistema. Para sistemas amortecidos, a força nas molas também depende da velocidade e da posição.
A força total
em uma mola para um sistema amortecido é dada por:
onde
é o coeficiente de amortecimento e
é o deslocamento no tempo
.
No entanto, como o enunciado não forneceu o coeficiente de amortecimento
, vamos assumir que a força seja principalmente elástica e que o amortecimento seja pequeno. Assim, podemos focar na parte elástica:
Passo 5
Precisamos encontrar o deslocamento
no tempo
. Para um sistema vibratório sem amortecimento, o deslocamento é dado por:
onde
é a amplitude e
é a fase inicial.
Sem informações sobre
e
, vamos assumir que
e
para simplificar:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da força:
Resposta
A força em uma das molas para
é aproximadamente
.