O sistema é composto por uma barra horizontal de massa ; uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que e , encontre:
A força em uma das molas para .(amortecimento do item a)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema que pode girar em torno de um ponto chamado o. Esse sistema é composto por:
  • Uma barra horizontal com massa
  • Uma barra vertical com massa
  • Um corpo rígido com massa
Sabemos que a frequência natural do sistema é de 15 Hz, e os comprimentos e . O que precisamos encontrar é a força em uma das molas no tempo , considerando o amortecimento do item a.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica vibratória, especificamente sobre frequência natural, sistemas amortecidos e força das molas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia total do sistema em relação ao ponto de rotação o. O momento de inércia é uma medida de quanta energia é necessária para rotacionar um objeto.
A fórmula para o momento de inércia de uma barra que gira em torno de uma extremidade é:
onde é a massa e é o comprimento da barra.
Calculando para cada parte:
  • Barra horizontal:
  • Barra vertical:
  • Corpo rígido (assumindo que está a uma distância do ponto o):
Somando todos:

Passo 3

Agora, vamos relacionar a frequência natural com o momento de inércia e a constante elástica efetiva do sistema de molas.
A frequência natural para um sistema rotacional é dada por:
Queremos encontrar a constante elástica . Rearranjando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos a constante elástica , vamos considerar o amortecimento do sistema. Para sistemas amortecidos, a força nas molas também depende da velocidade e da posição.
A força total em uma mola para um sistema amortecido é dada por:
onde é o coeficiente de amortecimento e é o deslocamento no tempo .
No entanto, como o enunciado não forneceu o coeficiente de amortecimento , vamos assumir que a força seja principalmente elástica e que o amortecimento seja pequeno. Assim, podemos focar na parte elástica:

Passo 5

Precisamos encontrar o deslocamento no tempo . Para um sistema vibratório sem amortecimento, o deslocamento é dado por:
onde é a amplitude e é a fase inicial.
Sem informações sobre e , vamos assumir que e para simplificar:

Passo 6

Agora, substituímos na equação da força:

Resposta

A força em uma das molas para é aproximadamente .

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O sistema é composto por uma barra horizontal de massa ; uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que e , encontre:
Considerando e , encontre (amortecimento do item a)
O sistema é composto por uma barra de comprimento e massa . Na extremidade superior tem um corpo de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é e aplicando as condições iniciais: e , encontre:
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.