Questão 9. Uma massa de 4.5 kg é suspensa por uma mola de rigidez k=1400 N / m. Um amortecedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c = 50 N s / m é conectado ao sistema. Determine o fator de amortecimento xi, a frequência natural wn e a frequência natural amortecida wd ?

Passo 1

Então, a gente tem uma massa de 4,5 kg presa numa mola com rigidez k = 1400 N/m e um amortecedor com coeficiente c = 50 N·s/m. Vamos usar conceitos de oscilações amortecidas para descobrir três coisas: o fator de amortecimento (ξ), a frequência natural (ωₙ) e a frequência natural amortecida (ω_d).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência natural (ωₙ). Essa é a frequência com que a massa oscilaria se não houvesse amortecimento. A fórmula para isso é:
omegan = raizkm
Substituindo os valores:
omegan = raiz14004.5 approx raiz311.11 approx 17.64 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos descobrir o fator de amortecimento (ξ). Esse valor nos mostra se o sistema está bem amortecido, criticamente amortecido ou pouco amortecido. A fórmula é:
xi = c2 raizk m
Substituindo os valores:
xi = 502 raiz1400 times 4.5 = 502 raiz6300 approx 502 times 79.37 approx 50158.74 approx 0.315

Passo 4

Por último, vamos calcular a frequência natural amortecida (ω_d), que é a frequência das oscilações considerando o amortecimento. A fórmula é:
omegad = omegan raiz1 - xi^2
Substituindo os valores:
omegad = 17.64 times raiz1 - (0.315)^2 = 17.64 times raiz1 - 0.099 approx 17.64 times raiz0.901 approx 17.64 times 0.949 approx 16.75 , rad/s

Resposta

O fator de amortecimento ξ é aproximadamente 0,315, a frequência natural ωₙ é cerca de 17,64 rad/s, e a frequência natural amortecida ω_d é aproximadamente 16,75 rad/s.

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