Questão 12. Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica. Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base. Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias frequências, a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 4.1 mm na frequência de excitação de 40 Hz . Usando estas informações estime o fator de amortecimento xi e o coeficiente de rigidez desta fundação.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma máquina ferramenta de 82 kg montada em uma fundação que é elástica, ou seja, pode vibrar. Foi feito um teste onde aplicaram uma força harmônica de 8000 N em diferentes frequências e mediram a amplitude máxima de vibração, que foi de 4.1 mm quando a frequência de excitação foi de 40 Hz. Nosso objetivo aqui é estimar dois parâmetros importantes da fundação: o fator de amortecimento ( xi) e o coeficiente de rigidez ( k). Para resolver isso, vamos usar conceitos de vibrações forçadas em sistemas massa-mola amortecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de rigidez ( k). Esse valor representa a “dureza” da fundação, ou seja, quão resistente ela é a deformações. A rigidez está relacionada à frequência natural do sistema. A fórmula que relaciona a massa ( m), a rigidez ( k) e a frequência natural ( fn) é:
fn = 12pi raizkm
Mas, como não temos a frequência natural diretamente, podemos usar a frequência de excitação e a amplitude para encontrar k e xi.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o fator de amortecimento ( xi). Esse fator indica quanto o sistema é amortecido, ou seja, quanta energia é dissipada nas vibrações. Para sistemas com força harmônica, a amplitude máxima em regime permanente é influenciada pelo amortecimento e pela rigidez.
A amplitude ( A) em regime permanente para uma força harmônica é dada por:
A = F0k cdot 1raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2
onde:
  • F0 é a magnitude da força aplicada,
  • r = ffn é a razão entre a frequência de excitação ( f) e a frequência natural ( fn).

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para encontrar k e xi. Primeiro, precisamos expressar fn em termos de k e m:
fn = 12pi raizkm
Podemos isolar k:
k = (2pi fn)^2 m
Mas ainda não sabemos fn. Então, vamos usar a equação da amplitude para relacionar k e xi com os dados fornecidos.

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos na equação da amplitude. Sabemos que:
  • A = 4.1 , mm = 4.1 times 10^-3 , m
  • F0 = 8000 , N
  • f = 40 , Hz
  • m = 82 , kg
Substituindo na equação da amplitude:
4.1 times 10^-3 = 8000k cdot 1raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2

Passo 6

Precisamos expressar r em termos de fn. Sabemos que:
r = ffn = 40fn
E fn está relacionado com k:
fn = 12pi raizk82
Então:
r = 4012pi raizk82 = 40 times 2pi raiz82k = 80pi raiz82k

Passo 7

Agora, vamos resolver as equações para encontrar k e xi. Esse sistema é não linear e pode ser resolvido numericamente, mas aqui faremos uma aproximação simplificada.
Primeiro, isolamos 8000k:
8000k = 4.1 times 10^-3 times raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2
Vamos definir C = 8000k:
C = 4.1 times 10^-3 times raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2
Isso nos dá uma relação entre C, r e xi, que podemos usar juntamente com as expressões anteriores para resolver k e xi.

Passo 8

Para simplificar, vamos assumir que o sistema está próximo da ressonância, onde r approx 1. Isso nos permite simplificar a equação da amplitude:
A approx F0k cdot 12xi r
Isolando xi:
xi approx F02 k r A
Substituindo r = 1 na aproximação:
xi approx 80002 k times 1 times 4.1 times 10^-3 = 80008.2 times 10^-3 k = 80000.0082 k approx 975609.76k

Passo 9

Agora, precisamos encontrar uma relação para k. Usando a expressão de fn:
fn = 12pi raizk82
Como assumimos r = 1, então f = fn = 40 , Hz.
Substituindo na equação:
40 = 12pi raizk82
Multiplicando ambos os lados por 2pi:
40 times 2pi = raizk82
Elevando ao quadrado:
(80pi)^2 = k82
k = 82 times (80pi)^2

Passo 10

Calculando o valor de k:
k = 82 times (80 times 3.1416)^2 approx 82 times (251.327)^2 approx 82 times 63165.8 approx 5.184 times 10^6 , N/m

Passo 11

Agora que temos k, podemos calcular xi usando a relação que encontramos:
xi approx 975609.765.184 times 10^6 approx 0.188

Resposta

O fator de amortecimento xi é aproximadamente 0,188 e o coeficiente de rigidez da fundação k é aproximadamente 5,184 × 10⁶ N/m.

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