Questão 12. Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica. Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base. Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias frequências, a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 4.1 mm na frequência de excitação de 40 Hz . Usando estas informações estime o fator de amortecimento
e o coeficiente de rigidez desta fundação.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma máquina ferramenta de 82 kg montada em uma fundação que é elástica, ou seja, pode vibrar. Foi feito um teste onde aplicaram uma força harmônica de 8000 N em diferentes frequências e mediram a amplitude máxima de vibração, que foi de 4.1 mm quando a frequência de excitação foi de 40 Hz. Nosso objetivo aqui é estimar dois parâmetros importantes da fundação: o fator de amortecimento (
) e o coeficiente de rigidez (
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de vibrações forçadas em sistemas massa-mola amortecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de rigidez (
). Esse valor representa a “dureza” da fundação, ou seja, quão resistente ela é a deformações. A rigidez está relacionada à frequência natural do sistema. A fórmula que relaciona a massa (
), a rigidez (
) e a frequência natural (
) é:
Mas, como não temos a frequência natural diretamente, podemos usar a frequência de excitação e a amplitude para encontrar
e
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o fator de amortecimento (
). Esse fator indica quanto o sistema é amortecido, ou seja, quanta energia é dissipada nas vibrações. Para sistemas com força harmônica, a amplitude máxima em regime permanente é influenciada pelo amortecimento e pela rigidez.
A amplitude (
) em regime permanente para uma força harmônica é dada por:
onde:
-
é a magnitude da força aplicada, -
é a razão entre a frequência de excitação ( ) e a frequência natural ( ).
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para encontrar
e
. Primeiro, precisamos expressar
em termos de
e
:
Podemos isolar
:
Mas ainda não sabemos
. Então, vamos usar a equação da amplitude para relacionar
e
com os dados fornecidos.
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos na equação da amplitude. Sabemos que:
Substituindo na equação da amplitude:
Passo 6
Precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
E
está relacionado com
:
Então:
Passo 7
Agora, vamos resolver as equações para encontrar
e
. Esse sistema é não linear e pode ser resolvido numericamente, mas aqui faremos uma aproximação simplificada.
Primeiro, isolamos
:
Vamos definir
:
Isso nos dá uma relação entre
,
e
, que podemos usar juntamente com as expressões anteriores para resolver
e
.
Passo 8
Para simplificar, vamos assumir que o sistema está próximo da ressonância, onde
. Isso nos permite simplificar a equação da amplitude:
Isolando
:
Substituindo
na aproximação:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar uma relação para
. Usando a expressão de
:
Como assumimos
, então
.
Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado:
Passo 10
Calculando o valor de
:
Passo 11
Agora que temos
, podemos calcular
usando a relação que encontramos:
Resposta
O fator de amortecimento
é aproximadamente 0,188 e o coeficiente de rigidez da fundação
é aproximadamente 5,184 × 10⁶ N/m.