O sistema é composto por uma barra horizontal de massa
; uma barra vertical de massa
e um corpo rígido de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que
e
, encontre:
Considerando
e
, encontre
(amortecimento do item a)
Considerando
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema com duas barras (uma horizontal de massa
e uma vertical de massa
) e um corpo rígido de massa
. Esse sistema pode girar em torno do ponto
. A frequência natural do sistema é 15 Hz, e as distâncias
e
são dadas. Queremos encontrar a função
que descreve o amortecimento do sistema, dado que
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender de osciladores harmônicos amortecidos, que envolvem conceitos de física de vibrações e matemáticas para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência natural
está relacionada à frequência angular natural
pela fórmula:
Aqui,
, então vamos calcular
.
Passo 3
Calculando
:
Essa é a frequ��ncia angular natural do sistema sem amortecimento.
Passo 4
Agora, para encontrar
em um sistema amortecido, usamos a solução geral da equação de movimento para um oscilador harmônico amortecido:
Onde:
-
é a taxa de amortecimento -
é a frequência angular amortecida
Precisamos encontrar
e
.
Passo 5
A relação entre a frequência natural
, a taxa de amortecimento
, e a frequência angular amortecida
é dada por:
Para sistemas levemente amortecidos,
é pequeno comparado a
.
Passo 6
Como a questão não fornece diretamente
, vamos assumir que o amortecimento é crítico ou subcrítico. Para simplificar, usaremos a forma padrão de um oscilador harmonicamente amortecido:
Isso assume que a contribuição da parte senoidal é pequena, o que é razoável para amortecimentos leves.
Passo 7
Se reorganizarmos a equação, temos:
onde
pode ser calculado se considerarmos a frequência fornecida e a taxa de amortecimento obtida dos parâmetros do sistema.
Passo 8
Dado que
, podemos relacionar isso com a frequência amortecida:
Então, substituindo na equação:
Passo 9
Para achar
, precisamos relacionar com a frequência natural
. Se considerarmos um amortecimento subcrítico:
Onde
é o fator de qualidade. Sem mais informações, podemos expressar
em termos de
e
:
Substituindo os valores:
Passo 10
Finalmente, substituindo
na equação de
:
Resposta
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O sistema é composto por uma barra horizontal de massa
; uma barra vertical de massa
e um corpo rígido de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que
e
, encontre:
A força em uma das molas para .(amortecimento do item a)
A força em uma das molas para
Questão 12. Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica. Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base. Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias frequências, a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 4.1 mm na frequência de excitação de 40 Hz . Usando estas informações estime o fator de amortecimento
e o coeficiente de rigidez desta fundação.
O sistema é composto por uma barra de comprimento
e massa
. Na extremidade superior tem um corpo de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é
e aplicando as condições iniciais:
e
, encontre:
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.
O sistema é composto por uma barra de comprimento
e massa
. Na extremidade superior tem um corpo de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é
e aplicando as condições iniciais:
e
, encontre:
A equação do movimento do sistema .
A equação do movimento do sistema