O sistema é composto por uma barra horizontal de massa mh=2 , kg; uma barra vertical de massa mv=1 , kg e um corpo rígido de massa m=0.5 , kg. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que a=0.5 , m e b=0.4 , m, encontre:
Considerando theta0=0.025 , rad e omega0=1 , rad/s, encontre theta(t) (amortecimento do item a)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema com duas barras (uma horizontal de massa e uma vertical de massa ) e um corpo rígido de massa . Esse sistema pode girar em torno do ponto . A frequência natural do sistema é 15 Hz, e as distâncias e são dadas. Queremos encontrar a função que descreve o amortecimento do sistema, dado que e .
Para resolver isso, vamos precisar entender de osciladores harmônicos amortecidos, que envolvem conceitos de física de vibrações e matemáticas para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência natural omegan = 2pi fn está relacionada à frequência angular natural pela fórmula:
Aqui, , então vamos calcular .

Passo 3

Calculando omegan = 2pi times 15 approx 94.25 , rad/s :
Essa é a frequ��ncia angular natural do sistema sem amortecimento.

Passo 4

Agora, para encontrar theta(t) = theta0 e^-gamma t cos(omegad t) + omega0 + gamma theta0omegad e^-gamma t sin(omegad t) em um sistema amortecido, usamos a solução geral da equação de movimento para um oscilador harmônico amortecido:
Onde:
  • é a taxa de amortecimento
  • é a frequência angular amortecida
Precisamos encontrar e .

Passo 5

A relação entre a frequência natural omegad = raizomegan^2 - gamma^2 , a taxa de amortecimento , e a frequência angular amortecida é dada por:
Para sistemas levemente amortecidos, é pequeno comparado a .

Passo 6

Como a questão não fornece diretamente theta(t) = theta0 e^-gamma t cos(omegad t) , vamos assumir que o amortecimento é crítico ou subcrítico. Para simplificar, usaremos a forma padrão de um oscilador harmonicamente amortecido:
Isso assume que a contribuição da parte senoidal é pequena, o que é razoável para amortecimentos leves.

Passo 7

Se reorganizarmos a equação, temos:
theta(t) = theta0 e^-gamma t cos(omegad t)
onde pode ser calculado se considerarmos a frequência fornecida e a taxa de amortecimento obtida dos parâmetros do sistema.

Passo 8

Dado que omegad = omega0 = 1 , rad/s , podemos relacionar isso com a frequência amortecida:
theta(t) = 0.025 e^-gamma t cos(1 cdot t)
Então, substituindo na equação:

Passo 9

Para achar gamma = omegan2Q , precisamos relacionar com a frequência natural gamma = raizomegan^2 - omegad^2 . Se considerarmos um amortecimento subcrítico:
gamma = raiz(94.25)^2 - (1)^2 approx 94.25 , rad/s
Onde é o fator de qualidade. Sem mais informações, podemos expressar em termos de e :
Substituindo os valores:

Passo 10

Finalmente, substituindo theta(t) = 0.025 e^-94.25 t cos(t) na equação de :

Resposta

theta(t) = 0.025 , e^-94.25 , t cos(t)

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