O sistema é composto por uma barra horizontal de massa ; uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que e , encontre:
Considerando e , encontre (amortecimento do item a)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema com duas barras (uma horizontal de massa e uma vertical de massa ) e um corpo rígido de massa . Esse sistema pode girar em torno do ponto . A frequência natural do sistema é 15 Hz, e as distâncias e são dadas. Queremos encontrar a função que descreve o amortecimento do sistema, dado que e .
Para resolver isso, vamos precisar entender de osciladores harmônicos amortecidos, que envolvem conceitos de física de vibrações e matemáticas para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência natural está relacionada à frequência angular natural pela fórmula:
Aqui, , então vamos calcular .

Passo 3

Calculando :
Essa é a frequ��ncia angular natural do sistema sem amortecimento.

Passo 4

Agora, para encontrar em um sistema amortecido, usamos a solução geral da equação de movimento para um oscilador harmônico amortecido:
Onde:
  • é a taxa de amortecimento
  • é a frequência angular amortecida
Precisamos encontrar e .

Passo 5

A relação entre a frequência natural , a taxa de amortecimento , e a frequência angular amortecida é dada por:
Para sistemas levemente amortecidos, é pequeno comparado a .

Passo 6

Como a questão não fornece diretamente , vamos assumir que o amortecimento é crítico ou subcrítico. Para simplificar, usaremos a forma padrão de um oscilador harmonicamente amortecido:
Isso assume que a contribuição da parte senoidal é pequena, o que é razoável para amortecimentos leves.

Passo 7

Se reorganizarmos a equação, temos:
onde pode ser calculado se considerarmos a frequência fornecida e a taxa de amortecimento obtida dos parâmetros do sistema.

Passo 8

Dado que , podemos relacionar isso com a frequência amortecida:
Então, substituindo na equação:

Passo 9

Para achar , precisamos relacionar com a frequência natural . Se considerarmos um amortecimento subcrítico:
Onde é o fator de qualidade. Sem mais informações, podemos expressar em termos de e :
Substituindo os valores:

Passo 10

Finalmente, substituindo na equação de :

Resposta

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O sistema é composto por uma barra horizontal de massa ; uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que e , encontre:
A força em uma das molas para .(amortecimento do item a)
Questão 12. Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica. Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base. Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias frequências, a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 4.1 mm na frequência de excitação de 40 Hz . Usando estas informações estime o fator de amortecimento e o coeficiente de rigidez desta fundação.
O sistema é composto por uma barra de comprimento e massa . Na extremidade superior tem um corpo de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é e aplicando as condições iniciais: e , encontre:
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.
O sistema é composto por uma barra de comprimento e massa . Na extremidade superior tem um corpo de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é e aplicando as condições iniciais: e , encontre:
A equação do movimento do sistema .