— Questão 14. Dada a função f(x) = x / (1 + x^2) :
(b) Determine o valor de a para que A=1/2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão 14 do exercício que trata da função . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor de que faz com que . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente de integração, já que provavelmente representa uma área relacionada à função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa. Geralmente, quando temos uma função e queremos determinar uma área ligada a ela, estamos falando da integral definida dessa função em um intervalo específico. Então, aqui, vamos assumir que é a área sob a curva da função entre e .

Passo 3

Agora, vamos expressar isso matematicamente. A área pode ser calculada pela integral definida de de 0 até :
E sabemos que , então temos:

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A função pode ser integrada usando uma substituição simples. Vamos chamar o denominador de :
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 5

Agora, aplicamos os limites da integral de 0 a :
Sabemos que , então simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos a e resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 7

Para resolver a equação acima, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 8

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

O valor de que satisfaz é .

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