— Questão 14. Dada a função
:
(b) Determine o valor de
para que
.
(b) Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão 14 do exercício que trata da função
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor de
que faz com que
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente de integração, já que
provavelmente representa uma área relacionada à função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
representa. Geralmente, quando temos uma função e queremos determinar uma área ligada a ela, estamos falando da integral definida dessa função em um intervalo específico. Então, aqui, vamos assumir que
é a área sob a curva da função
entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar isso matematicamente. A área
pode ser calculada pela integral definida de
de 0 até
:
E sabemos que
, então temos:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A função
pode ser integrada usando uma substituição simples. Vamos chamar o denominador de
:
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites da integral de 0 a
:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos
a
e resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 7
Para resolver a equação acima, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 8
Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
O valor de
que satisfaz
é
.
Exercícios relacionados
_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(e)
(e)
_ Questão 7. Calcule o volume do sólido
obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
(a) e
.
(a)
- Questão 22. A população
de uma colonia de bactéria horas após o início da observação esta mudando à taxa de
Se a pululação era de 200.000 bactérias quando as observações começaram, qual será a população 12 horas depois?
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.
(i)
(i)