• Questão 22. A população de uma colonia de bactéria horas após o início da observação esta mudando à taxa de
Se a pululação era de 200.000 bactérias quando as observações começaram, qual será a população 12 horas depois?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a população de uma colônia de bactérias está mudando com o tempo. O enunciado nos dá a taxa de mudança da população, que é uma função do tempo, e também a população inicial quando começamos a observar. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais e vamos precisar integrar a taxa de mudança para encontrar a população em um momento específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que foi dado. A taxa de mudança da população em relação ao tempo é:
Isso significa que a velocidade com que a população está crescendo depende dessas funções exponenciais.

Passo 3

Para encontrar a população em um determinado tempo, precisamos integrar a taxa de mudança . A integração vai nos dar a expressão para .
Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 4

Integrando o primeiro termo:
Aqui, usamos a regra básica da integração de exponenciais: .

Passo 5

Agora, integrando o segundo termo:
Note que o sinal fica negativo porque o expoente é negativo.

Passo 6

Juntando os resultados das integrais, temos:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 7

A condição inicial nos diz que quando , a população bactérias. Vamos usar isso para encontrar :

Passo 8

Agora que temos , podemos escrever a expressão completa para :

Passo 9

Por fim, queremos saber qual será a população 12 horas depois, ou seja, . Vamos substituir na equação:
Calculando os expoentes:
Então:
Usando valores aproximados para as potências de :
Substituindo:

Resposta

A população após 12 horas será de aproximadamente 206.152 bactérias.

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(b) Determine o valor de para que .
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(i)
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