- Questão 22. A população
de uma colonia de bactéria
horas após o início da observação esta mudando à taxa de
Se a pululação era de 200.000 bactérias quando as observações começaram, qual será a população 12 horas depois?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a população de uma colônia de bactérias está mudando com o tempo. O enunciado nos dá a taxa de mudança da população, que é uma função do tempo, e também a população inicial quando começamos a observar. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais e vamos precisar integrar a taxa de mudança para encontrar a população em um momento específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que foi dado. A taxa de mudança da população
em relação ao tempo
é:
Isso significa que a velocidade com que a população está crescendo depende dessas funções exponenciais.
Passo 3
Para encontrar a população
em um determinado tempo, precisamos integrar a taxa de mudança
. A integração vai nos dar a expressão para
.
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 4
Integrando o primeiro termo:
Aqui, usamos a regra básica da integração de exponenciais:
.
Passo 5
Agora, integrando o segundo termo:
Note que o sinal fica negativo porque o expoente é negativo.
Passo 6
Juntando os resultados das integrais, temos:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 7
A condição inicial nos diz que quando
, a população
bactérias. Vamos usar isso para encontrar
:
Passo 8
Agora que temos
, podemos escrever a expressão completa para
:
Passo 9
Por fim, queremos saber qual será a população 12 horas depois, ou seja,
. Vamos substituir
na equação:
Calculando os expoentes:
Então:
Usando valores aproximados para as potências de
:
Substituindo:
Resposta
A população após 12 horas será de aproximadamente 206.152 bactérias.
Exercícios relacionados
— Questão 14. Dada a função
:
(b) Determine o valor de para que
.
(b) Determine o valor de
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(e)
(e)
— Questão 5. Nos exercícios abaixo, calcule a área da região
.
(i)
(i)
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unidades por mês. Quantos telefones são produzidos durante o terceiro mês?