— Questão 5. Nos exercícios abaixo, calcule a área da região A.
(i) A = {(x, y) ∈ R² | 0 <= x <= 1, 0 >= y >= ln(x)}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular a área de uma região definida por algumas condições no plano. A gente vai usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente de integrais duplas, pra encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da região . Ela é definida por:
Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até 0.

Passo 3

Para encontrar a área, vamos montar uma integral dupla. A área pode ser expressa assim:
Primeiro, integramos em relação a , e depois em relação a .

Passo 4

Calculando a integral interna em :
Agora, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
Então:
Avaliado de 0 a 1:
Quando :
Quando , o termo tende a 0, então:
Portanto:

Resposta

A área da região é igual a 1.

Exercícios relacionados