— Questão 5. Nos exercícios abaixo, calcule a área da região
.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular a área de uma região definida por algumas condições no plano. A gente vai usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente de integrais duplas, pra encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da região
. Ela é definida por:
Isso significa que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até 0.
Passo 3
Para encontrar a área, vamos montar uma integral dupla. A área
pode ser expressa assim:
Primeiro, integramos em relação a
, e depois em relação a
.
Passo 4
Calculando a integral interna em
:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
Então:
Avaliado de 0 a 1:
Quando
:
Quando
, o termo
tende a 0, então:
Portanto:
Resposta
A área da região
é igual a 1.
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