_ Questão 7. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares tais que
(a) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região no plano. Aqui, estamos lidando com o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente usando o método dos discos ou cascas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esses métodos à função dada e aos limites de integração fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Temos que e . Isso significa que estamos considerando a área entre e na curva .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , o método dos cascas cilíndricas é mais conveniente. Nesse método, o volume é calculado somando as “cascas” cilíndricas formadas pela rotação de pequenos pedaços da região.

Passo 4

A fórmula do volume pelo método das cascas cilíndricas é:
Aqui, é a função que define a altura da casca, que no nosso caso é , e , .

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 6

Para resolver a integral , usamos o método de integração por partes, onde escolhemos:

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
Simplificando:

Passo 8

Calculando a integral restante:
Então:

Passo 9

Agora, voltamos à expressão do volume:
Vamos calcular isso para e .

Passo 10

Calculando para :
Para :

Passo 11

Subtraindo os valores:

Passo 12

Finalmente, multiplicamos por :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(g)
_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(d)
_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(e)
— Questão 14. Dada a função :
(b) Determine o valor de para que .