_ Questão 7. Calcule o volume do sólido
obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região no plano. Aqui, estamos lidando com o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente usando o método dos discos ou cascas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esses métodos à função dada e aos limites de integração fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Temos que
e
. Isso significa que estamos considerando a área entre
e
na curva
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, o método dos cascas cilíndricas é mais conveniente. Nesse método, o volume é calculado somando as “cascas” cilíndricas formadas pela rotação de pequenos pedaços da região.
Passo 4
A fórmula do volume pelo método das cascas cilíndricas é:
Aqui,
é a função que define a altura da casca, que no nosso caso é
, e
,
.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos o método de integração por partes, onde escolhemos:
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Passo 8
Calculando a integral restante:
Então:
Passo 9
Agora, voltamos à expressão do volume:
Vamos calcular isso para
e
.
Passo 10
Calculando para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Passo 12
Finalmente, multiplicamos por
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
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(g)
(g)
_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(d)
(d)
_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(e)
(e)
— Questão 14. Dada a função
:
(b) Determine o valor de para que
.
(b) Determine o valor de