- Questão 15. A prefeitura de uma certa cidade estima que a água está sendo consumida pelos moradores a uma taxa
bilhões de litros por ano, onde
é o consumo de água
anos após o ano 2000. Qual será o consumo total de água no período de 2000-2010?
Passo 1
Vamos entender o problema: a prefeitura quer saber qual será o consumo total de água entre os anos 2000 e 2010. A taxa de consumo de água é dada por
onde
representa o consumo de água
anos após 2000. Para resolver isso, teremos que calcular a integral da taxa de consumo
no intervalo de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma taxa de consumo nos dá o consumo total nesse período. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 4
Calculando a primeira integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Sabemos que a integral de
é
. Aplicando isso:
Passo 6
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, somando as duas partes da integral:
Resposta
O consumo total de água no período de 2000 a 2010 será de aproximadamente 103,50 bilhões de litros.
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e
, respectivamente, a área da região
e o volume do solido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
, Determine:
(a) .
(a)