- Questão 17. um modelo do tempo necessário para que a doença atinja
indivíduos (
é dado em horas).
(a) Ache o tempo em que
da população se tornam infectads (quando
)
(a) Ache o tempo em que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um modelo que descreve o tempo necessário para que uma doença alcance
indivíduos, onde
é medido em horas. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para que
da população fique infectada, sabendo que no início (
), apenas uma pessoa está infectada.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de crescimento exponencial, que é comum em modelos de propagação de doenças.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o crescimento exponencial. A fórmula básica é:
Aqui:
-
é o número de indivíduos infectados no tempo . -
é o número inicial de infectados (no nosso caso, ). -
é a taxa de crescimento. -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.
Passo 3
Sabemos que queremos que
seja
da população total. Vamos chamar a população total de
. Então, queremos que:
Substituindo na fórmula do crescimento exponencial, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o tempo
. Primeiro, dividimos ambos os lados por 1 (que não altera a equação):
Para tirar o
da equação, aplicamos o logaritmo natural (
) em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, isolamos o tempo
dividindo ambos os lados por
:
Esse é o tempo necessário para que
da população esteja infectada, em termos da taxa de crescimento
e da população total
.
Resposta
O tempo necessário para que
da população fique infectada é dado por:
Exercícios relacionados
_ Questão 23. Uma corporação criou uma linha de produção para fabricar um novo tipo de telefone celular. A taxa de produção do telefones é
unidades por mês. Quantos telefones são produzidos durante o terceiro mês?
— Questão 5. Nos exercícios abaixo, calcule a área da região
.
(i)
(i)
- Questão 15. A prefeitura de uma certa cidade estima que a água está sendo consumida pelos moradores a uma taxa
bilhões de litros por ano, onde
é o consumo de água
anos após o ano 2000. Qual será o consumo total de água no período de 2000-2010?
- Questão 17. um modelo do tempo necessário para que a doença atinja
indivíduos ( é dado em horas).
(b) Ache o número de pessoas infectadas após 100 horas.