• Questão 17. um modelo do tempo necessário para que a doença atinja x indivíduos ( t é dado em horas).
    (a) Ache o tempo em que 75 % da população se tornam infectads (quando t=0, x=1 )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um modelo que descreve o tempo necessário para que uma doença alcance x indivíduos, onde t é medido em horas. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para que da população fique infectada, sabendo que no início ( ), apenas uma pessoa está infectada.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de crescimento exponencial, que é comum em modelos de propagação de doenças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o crescimento exponencial. A fórmula básica é:
Aqui:
  • x(t) é o número de indivíduos infectados no tempo t.
  • é o número inicial de infectados (no nosso caso, ).
  • k é a taxa de crescimento.
  • e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 3

Sabemos que queremos que x(t) seja da população total. Vamos chamar a população total de N. Então, queremos que:
Substituindo na fórmula do crescimento exponencial, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o tempo t. Primeiro, dividimos ambos os lados por 1 (que não altera a equação):
Para tirar o e da equação, aplicamos o logaritmo natural ( ln) em ambos os lados:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, isolamos o tempo t dividindo ambos os lados por k:
Esse é o tempo necessário para que da população esteja infectada, em termos da taxa de crescimento k e da população total N.

Resposta

O tempo necessário para que da população fique infectada é dado por:

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