_ Questão 23. Uma corporação criou uma linha de produção para fabricar um novo tipo de telefone celular. A taxa de produção do telefones é
dP/dt = 1500(2 - t/(2t + 5))
unidades por mês. Quantos telefones são produzidos durante o terceiro mês?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a taxa de produção de telefones de uma empresa, que é dada pela derivada unidades por mês. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos telefones são produzidos durante o terceiro mês. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é basicamente somar pequenas variações para encontrar um total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que representa a taxa de produção, ou seja, quantos telefones estão sendo produzidos em cada instante de tempo . Para encontrar o total de telefones produzidos em um intervalo de tempo, precisamos integrar essa taxa nesse intervalo.

Passo 3

Queremos saber a produção durante o terceiro mês. Considerando que está em meses, o terceiro mês vai de até . Então, vamos calcular a integral de de 2 a 3:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Primeira integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Para isso, fazemos uma substituição:
  • Seja
  • Então, ou
  • Também,
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de 2 a 3:
Simplificando:
Calculando os valores dos logaritmos:
Então:

Resposta

Durante o terceiro mês, são produzidos aproximadamente 747 telefones.

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