— Questão 20. Sejam e , respectivamente, a área da região
e o volume do solido gerado pela rotação da região em torno do eixo , Determine:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o limite, quando vai para o infinito, da área da região que está definida por e . Para isso, vamos usar cálculo integral, que é a ferramenta certa para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está entre e no eixo , e de até no eixo . Para achar a área dessa região, vamos integrar a função que define o limite superior, que é , em relação a .

Passo 3

A fórmula para calcular a área é:
Aqui, estamos integrando de até .

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de com relação a é o logaritmo natural de . Então:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o limite dessa área quando tende ao infinito:
Como o logaritmo natural de cresce sem limites conforme aumenta, o limite é infinito.

Resposta

O limite da área quando tende ao infinito é infinito.

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(b) o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo .
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.
Mostre que o centro de massa de uma faixa reta e fina ou barra de densidade constante situa-se no meio do caminho entre um extremo e outro.