— Questão 20. Sejam R(a) e V(a), respectivamente, a área da região
R=(x, y): 1 <= x <= a e 0 <= y <= 1x
e o volume do solido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x, Determine:
(a) lim a infty R(a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o limite, quando vai para o infinito, da área da região que está definida por e . Para isso, vamos usar cálculo integral, que é a ferramenta certa para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está entre e no eixo , e de até no eixo . Para achar a área dessa região, vamos integrar a função que define o limite superior, que é , em relação a .

Passo 3

A fórmula para calcular a área R(a) = integral1^a 1x , dx é:
Aqui, estamos integrando de até .

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de R(a) = [ ln|x| ]1^a = ln(a) - ln(1) com relação a R(a) = ln(a) é o logaritmo natural de . Então:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o limite dessa área quando lima to infty R(a) = lima to infty ln(a) tende ao infinito:
Como o logaritmo natural de cresce sem limites conforme aumenta, o limite é infinito.

Resposta

O limite da área quando tende ao infinito é infinito.

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