— Questão 20. Sejam
e
, respectivamente, a área da região
e o volume do solido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
, Determine:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o limite, quando
vai para o infinito, da área da região
que está definida por
e
. Para isso, vamos usar cálculo integral, que é a ferramenta certa para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está entre
e
no eixo
, e de
até
no eixo
. Para achar a área dessa região, vamos integrar a função que define o limite superior, que é
, em relação a
.
Passo 3
A fórmula para calcular a área
é:
Aqui, estamos integrando
de
até
.
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de
com relação a
é o logaritmo natural de
. Então:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o limite dessa área quando
tende ao infinito:
Como o logaritmo natural de
cresce sem limites conforme
aumenta, o limite é infinito.
Resposta
O limite da área
quando
tende ao infinito é infinito.