_ Questão 16. O Momento
, a Massa
e Centro de massa
de uma Barra ou Faixa Fina ao longo do Eixo
com Função Densidade
são, respectivamente,
.
Mostre que o centro de massa de uma faixa reta e fina ou barra de densidade constante situa-se no meio do caminho entre um extremo e outro.
Mostre que o centro de massa de uma faixa reta e fina ou barra de densidade constante situa-se no meio do caminho entre um extremo e outro.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma barra fina com densidade constante ao longo do eixo
, que vai de
até
. Queremos encontrar o centro de massa dessa barra. Para isso, vamos usar as fórmulas fornecidas para o momento
, a massa
e o centro de massa
. Como a densidade é constante, isso vai facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Vamos calcular a massa
da barra. A massa é dada pela integral da densidade ao longo do comprimento da barra:
Como a densidade
é constante, podemos substituir por
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento
. O momento é dado pela integral do produto da posição
pela densidade ao longo da barra:
Novamente, como a densidade é constante, substituímos por
:
Calculando a integral:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar o centro de massa
usando as fórmulas dadas:
Substituindo
e
:
Podemos simplificar isso usando a fatoração da diferença de quadrados:
Substituindo de volta:
Resposta
O centro de massa da barra está localizado no ponto
, ou seja, exatamente no meio do caminho entre os extremos
e
.