_ Questão 16. O Momento , a Massa e Centro de massa de uma Barra ou Faixa Fina ao longo do Eixo com Função Densidade são, respectivamente,
.
Mostre que o centro de massa de uma faixa reta e fina ou barra de densidade constante situa-se no meio do caminho entre um extremo e outro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma barra fina com densidade constante ao longo do eixo , que vai de até . Queremos encontrar o centro de massa dessa barra. Para isso, vamos usar as fórmulas fornecidas para o momento , a massa e o centro de massa . Como a densidade é constante, isso vai facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Vamos calcular a massa da barra. A massa é dada pela integral da densidade ao longo do comprimento da barra:
Como a densidade é constante, podemos substituir por :

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento . O momento é dado pela integral do produto da posição pela densidade ao longo da barra:
Novamente, como a densidade é constante, substituímos por :
Calculando a integral:
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar o centro de massa usando as fórmulas dadas:
Substituindo e :
Podemos simplificar isso usando a fatoração da diferença de quadrados:
Substituindo de volta:

Resposta

O centro de massa da barra está localizado no ponto , ou seja, exatamente no meio do caminho entre os extremos e .

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