_ Questão 16. O Momento M0, a Massa M e Centro de massa barx de uma Barra ou Faixa Fina ao longo do Eixo x com Função Densidade de são, respectivamente,
M0=integrala^b x de.
Mostre que o centro de massa de uma faixa reta e fina ou barra de densidade constante situa-se no meio do caminho entre um extremo e outro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma barra fina com densidade constante ao longo do eixo , que vai de até . Queremos encontrar o centro de massa dessa barra. Para isso, vamos usar as fórmulas fornecidas para o momento , a massa e o centro de massa . Como a densidade é constante, isso vai facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Vamos calcular a massa M = integrala^b de da barra. A massa é dada pela integral da densidade ao longo do comprimento da barra:
M = integrala^b de
Como a densidade é constante, podemos substituir por :

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento M0 = integrala^b x de. O momento é dado pela integral do produto da posição M0 = integrala^b x de pela densidade ao longo da barra:
integrala^b x , dx = [ x^22 ]a^b = b^2 - a^22
Novamente, como a densidade é constante, substituímos por M0 = de:
Calculando a integral:
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar o centro de massa barx = M0M usando as fórmulas dadas:
barx = de
Substituindo b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) e barx = (b - a)(b + a)2(b - a) = b + a2 :
Podemos simplificar isso usando a fatoração da diferença de quadrados:
Substituindo de volta:

Resposta

O centro de massa da barra está localizado no ponto , ou seja, exatamente no meio do caminho entre os extremos e .

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