— Questão 21. Seja
a região, limitada pelas curvas
e
, Determine:
(b) o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
.
(b) o volume do sólido gerado pela rotação da região
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a região
limitada pelas curvas
e
. O objetivo é determinar o volume do sólido formado quando essa região é girada em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas), que é indicado para rotações em torno do eixo
quando trabalhamos com funções de
.
Passo 2
O método dos cilindros envolve integrar ao longo do eixo de rotação, neste caso, o eixo
. Primeiro, precisamos identificar os limites de integração, ou seja, os valores de
onde as duas curvas se interceptam. Vamos igualar
e
:
Resolvendo essa equação:
Assim, as interseções ocorrem em
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a fórmula do volume usando o método dos cilindros. A fórmula geral é:
Aqui:
-
é a distância do ponto ao eixo de rotação (eixo ). -
é a altura da casca em cada ponto , que corresponde à diferença entre as duas funções que limitam a região.
Passo 4
Vamos determinar a altura
. Observando as curvas
e
no intervalo
, vemos que
está acima de
. Portanto:
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume, temos:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Passo 7
Portanto, o volume é:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.