— Questão 21. Seja a região, limitada pelas curvas e , Determine:
(b) o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a região limitada pelas curvas e . O objetivo é determinar o volume do sólido formado quando essa região é girada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas), que é indicado para rotações em torno do eixo quando trabalhamos com funções de .

Passo 2

O método dos cilindros envolve integrar ao longo do eixo de rotação, neste caso, o eixo . Primeiro, precisamos identificar os limites de integração, ou seja, os valores de onde as duas curvas se interceptam. Vamos igualar e :
Resolvendo essa equação:
Assim, as interseções ocorrem em e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a fórmula do volume usando o método dos cilindros. A fórmula geral é:
Aqui:
  • é a distância do ponto ao eixo de rotação (eixo ).
  • é a altura da casca em cada ponto , que corresponde à diferença entre as duas funções que limitam a região.

Passo 4

Vamos determinar a altura . Observando as curvas e no intervalo , vemos que está acima de . Portanto:

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume, temos:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:

Passo 7

Portanto, o volume é:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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e o volume do solido gerado pela rotação da região em torno do eixo , Determine:
(a) .
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.
Mostre que o centro de massa de uma faixa reta e fina ou barra de densidade constante situa-se no meio do caminho entre um extremo e outro.
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  1. Calcule