— Questão 21. Seja R a região, limitada pelas curvas y = x e y = x^2, Determine:
(b) o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a região R limitada pelas curvas e . O objetivo é determinar o volume do sólido formado quando essa região é girada em torno do eixo y. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas), que é indicado para rotações em torno do eixo y quando trabalhamos com funções de x.

Passo 2

O método dos cilindros envolve integrar ao longo do eixo de rotação, neste caso, o eixo y. Primeiro, precisamos identificar os limites de integração, ou seja, os valores de x onde as duas curvas se interceptam. Vamos igualar e :
Resolvendo essa equação:
Assim, as interseções ocorrem em x = 0 e x = 1.

Passo 3

Agora, vamos configurar a fórmula do volume usando o método dos cilindros. A fórmula geral é:
Aqui:
  • x é a distância do ponto ao eixo de rotação (eixo y).
  • h(x) é a altura da casca em cada ponto x, que corresponde à diferença entre as duas funções que limitam a região.

Passo 4

Vamos determinar a altura h(x). Observando as curvas e no intervalo 0 <= x <= 1, vemos que está acima de . Portanto:

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume, temos:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:

Passo 7

Portanto, o volume é:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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