_ Questão 18. Sendo
uma constante real positiva
- Calcule
Passo 1
Então, a gente tem uma integral para calcular:
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando antiderivadas. Vamos precisar conhecer a fórmula da antiderivada de
para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a antiderivada de
. A função que, quando derivada, dá
é a função arco-tangente, ou seja,
. Então, sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Agora que sabemos a antiderivada, podemos calcular a integral definida de 0 a
. Isso significa que vamos avaliar
nos limites de 0 a
e subtrair os valores:
Passo 4
Sabemos que
, porque a tangente de 0 é 0. Portanto, a expressão fica:
Resposta
A integral
é igual a
.