_ Questão 18. Sendo R uma constante real positiva
  1. Calcule F(R)=integral0^R 11+x^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem uma integral para calcular: . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando antiderivadas. Vamos precisar conhecer a fórmula da antiderivada de para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a antiderivada de integral 11+x^2 , dx = arctan(x) + C . A função que, quando derivada, dá é a função arco-tangente, ou seja, . Então, sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora que sabemos a antiderivada, podemos calcular a integral definida de 0 a F(R) = arctan(R) - arctan(0) . Isso significa que vamos avaliar nos limites de 0 a e subtrair os valores:

Passo 4

Sabemos que F(R) = arctan(R) - 0 = arctan(R) , porque a tangente de 0 é 0. Portanto, a expressão fica:

Resposta

A integral é igual a .

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