• Questão 24. Uma proteína com massa m gramas se desintegra em aminoácidos a uma taxa dada por
dm/dt = -2/(t+1) g/h
Quanto mais proteína existe depois de 2 horas e depois de 5 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre como uma proteína está se desintegrando ao longo do tempo. A gente vai usar conhecimentos de Cálculo, especificamente de equações diferenciais, para descobrir quanto dessa proteína resta após 2 e 5 horas. Para isso, vamos precisar integrar a taxa de desintegração que foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a taxa de desintegração da proteína. A equação que descreve essa taxa é:
Aqui, representa a rapidez com que a massa da proteína está diminuindo ao longo do tempo.

Passo 3

Para encontrar a massa da proteína em função do tempo, precisamos integrar essa taxa de variação. A integração nos dá a função da massa m(t).
Vamos integrar ambos os lados em relação ao tempo t:

Passo 4

A integral do lado esquerdo é simplesmente m(t):
Onde C é a constante de integração. Essa constante pode ser determinadda se tivermos uma condição inicial, ou seja, o valor de m em algum tempo específico. Mas como não foi dado um valor inicial, vamos manter C na fórmula.

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado direito:
Então, a função da massa fica:

Passo 6

Se não temos uma condição inicial, geralmente assumimos que no tempo , a massa inicial da proteína é . Assim, podemos encontrar a constante C substituindo :

Passo 7

Agora, substituímos C na equação da massa:

Passo 8

Finalmente, para encontrar a massa após 2 horas e 5 horas, substituímos t por 2 e 5 na equação:
Para horas:
Para horas:

Resposta

Após 2 horas, a massa da proteína é gramas e após 5 horas é gramas.

Exercícios relacionados