_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
18. integral sec ^2(x)3+2 tan (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de em relação a . Vamos usar técnicas de integração, especificamente a técnica de substituição, para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável nova para simplificar a expressão. Observando o denominador , parece um bom candidato para substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.

Passo 4

Calculando a derivada de dudx = 2 sec^2(x) :
du = 2 sec^2(x) dx
Isso significa que:

Passo 5

Agora, vamos resolver para dx = du2 sec^2(x) :
integral sec^2(x)3 + 2 tan(x) dx = integral sec^2(x)u cdot du2 sec^2(x) = integral 12u du
Substituindo na integral original:

Passo 6

A integral agora ficou bem mais simples:
integral 12u du = 12 integral 1u du
Sabemos que a integral de 12 ln|u| + C em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original substituindo 12 ln|3 + 2 tan(x)| + C :

Resposta

A integral indefinida é:
12 ln|3 + 2 tan(x)| + C

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