Questão 3 [2,5 pontos] A temperatura em um ponto é , medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após segundos é dada por , onde e são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz e . Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de oito segundos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que fala sobre a temperatura em um ponto e um inseto que se move nesse plano. A questão faz parte de cálculo, especificamente de derivadas parciais e taxas de variação. Para resolver, vamos precisar entender como a temperatura muda à medida que o inseto se move, usando as derivadas parciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a posição do inseto em função do tempo . A posição é dada por:
Queremos saber como a temperatura está mudando no caminho do inseto depois de 8 segundos. Isso significa que precisamos encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, ou seja, quando .
Passo 3
Para encontrar , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Aqui, e são as derivadas parciais da temperatura em relação a e , que nos foram fornecidas.
Passo 4
Vamos calcular e . Derivando as funções de posição:
No momento :
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos na fórmula da taxa de variação da temperatura:
Sabemos que e . Então:
Resposta
A temperatura está aumentando no caminho do inseto a uma taxa de graus Celsius por segundo depois de oito segundos.