Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
e-) e^(2y+x) dx - e^(2x-y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. O enunciado que temos é:
Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e para conseguir integrar cada lado da equação de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar as e de um lado. Podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos tentar separar as variáveis e . Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por :
Simplificando a fração:

Passo 4

Agora, queremos separar completamente as variáveis. Vamos reescrever a equação:
Isso nos permite escrever:

Passo 5

Vamos usar a técnica de variáveis separáveis, onde colocamos todas as de um lado e todas as do outro. Reorganizando:

Passo 6

Agora, podemos integrar ambos os lados:

Passo 7

Integrando cada lado:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
Podemos multiplicar tudo por para simplificar ainda mais:
Onde ainda é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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