Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
e-)
e-)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. O enunciado que temos é:
Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
para conseguir integrar cada lado da equação de forma independente.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar as
e
de um lado. Podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos tentar separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Simplificando a fração:
Passo 4
Agora, queremos separar completamente as variáveis. Vamos reescrever a equação:
Isso nos permite escrever:
Passo 5
Vamos usar a técnica de variáveis separáveis, onde colocamos todas as
de um lado e todas as
do outro. Reorganizando:
Passo 6
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Passo 7
Integrando cada lado:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Vamos simplificar a equação:
Podemos multiplicar tudo por
para simplificar ainda mais:
Onde
ainda é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.