É verdadeiro ou falso?
Se f(x)=sumn=0^+infty cn(x-a)^n, então integral f(x) d x=C+sumn=0^+infty cn(x-a)^n+1n+1 no interior do intervalo de convergência de f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Se integral f(x) , dx = C + sumn=0^+infty cn(x-a)^n+1n+1 , então
no interior do intervalo de convergência de .
Aqui, estamos lidando com séries de potências e com o processo de integração dessas séries. Precisamos verificar se podemos integrar termo a termo a série de potências e se a igualdade proposta realmente se sustenta dentro do intervalo onde a série original converge.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que uma série de potências como tem um intervalo de convergência onde a série converge para um valor específico. Dentro desse intervalo, muitas operações matemáticas, como derivação e integração, podem ser realizadas termo a termo. Isso significa que podemos aplicar essas operações individualmente a cada termo da série.

Passo 3

Agora, vamos focar na integração termo a termo. Se integrarmos cada termo integral cn(x-a)^n , dx = cn(x-a)^n+1n+1 + C separadamente, obtemos:
integral f(x) , dx = C + sumn=0^+infty cn(x-a)^n+1n+1
Onde é a constante de integração. Aplicando isso a toda a série, temos:
Portanto, a igualdade proposta está correta desde que estejamos dentro do intervalo de convergência da série original , garantindo que a integração termo a termo é válida.

Resposta

Verdadeiro. A igualdade é válida no interior do intervalo de convergência de .

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