É verdadeiro ou falso?
Se
, então
no interior do intervalo de convergência de
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Se
, então
no interior do intervalo de convergência de
.
Aqui, estamos lidando com séries de potências e com o processo de integração dessas séries. Precisamos verificar se podemos integrar termo a termo a série de potências e se a igualdade proposta realmente se sustenta dentro do intervalo onde a série original converge.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que uma série de potências como
tem um intervalo de convergência onde a série converge para um valor específico. Dentro desse intervalo, muitas operações matemáticas, como derivação e integração, podem ser realizadas termo a termo. Isso significa que podemos aplicar essas operações individualmente a cada termo da série.
Passo 3
Agora, vamos focar na integração termo a termo. Se integrarmos cada termo
separadamente, obtemos:
Onde
é a constante de integração. Aplicando isso a toda a série, temos:
Portanto, a igualdade proposta está correta desde que estejamos dentro do intervalo de convergência da série original
, garantindo que a integração termo a termo é válida.
Resposta
Verdadeiro. A igualdade é válida no interior do intervalo de convergência de
.
Exercícios relacionados
Questão 3 [2,5 pontos] A temperatura em um ponto
é
, medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após
segundos é dada por
, onde
e
são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz
e
. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de oito segundos?
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
a-)
a-)
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
e-)
e-)
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
b.
b.