_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
25. integral 2 x cos (x^2-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por outra variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando a função dentro do cosseno, vemos u = x^2 - 2 . Vamos chamar isso de :
Essa substituição é útil porque a derivada de em relação a nos dará uma expressão que aparece na integral original.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2x implies du = 2x , dx em relação a para encontrar :
Perceba que é exatamente o que temos na nossa integral original. Isso confirma que a substituição é adequada.

Passo 4

Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de integral 2x cos(x^2 - 2) dx = integral cos(u) , du :
Agora, a integral ficou mais simples e em termos de .

Passo 5

Vamos integrar integral cos(u) , du = sin(u) + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos substituir sin(u) + C = sin(x^2 - 2) + C de volta por para obter a solução em termos de :

Resposta

A integral sin(x^2 - 2) + C é igual a:

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