Questão: (25 pontos) Para a função abaixo faça o que se pede.
b) (10 pontos) Para
verifique se a funcâo é derivável em
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos saber se, quando
, essa função é derivável em
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivabilidade em um ponto onde a função muda de expressão.
Passo 2
Para verificar se a função é derivável em
, precisamos primeiro garantir que a função seja contínua nesse ponto. Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Calculando a continuidade:
- Para
: - Para
:
Igualando as duas expressões para garantir a continuidade:
Então,
ou
. Como
está sendo considerado, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a derivabilidade. Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais da função em
e ver se elas são iguais.
-
Derivada para
: Em: -
Derivada para
: Em:
Passo 5
Para a função ser derivável em
, as derivadas laterais devem ser iguais:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
No entanto, na questão estamos considerando
, que não satisfaz a equação acima.
Resposta
Para
, a função não é derivável em
, pois as derivadas laterais são diferentes.
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Considere a reta
de equação
e o ponto
de coordenadas
. Qual a distância do ponto P até a reta
.
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a) (15 pontos) Determine qual(is) valor (es) de
a função é continua em
. Justifique sua res posta.
Para cada uma das funções, determine seu maior domínio de definição:
.
Se
e
, calcule as seguinte expressões:
.