Questão: (25 pontos) Para a função abaixo faça o que se pede.
f(x) = { a^2 * x^2 - 2 * a , se x <= 2, 5 * a * x , se x > 2 }
b) (10 pontos) Para a = 3 verifique se a funcâo é derivável em x = 2. Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos saber se, quando , essa função é derivável em . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivabilidade em um ponto onde a função muda de expressão.

Passo 2

Para verificar se a função é derivável em , precisamos primeiro garantir que a função seja contínua nesse ponto. Ou seja, o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Calculando a continuidade:
  • Para :
  • Para :
Igualando as duas expressões para garantir a continuidade:
Então, ou . Como está sendo considerado, a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a derivabilidade. Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais da função em e ver se elas são iguais.
  • Derivada para :
    Em :
  • Derivada para :
    Em :

Passo 5

Para a função ser derivável em , as derivadas laterais devem ser iguais:
Dividindo ambos os lados por (considerando ):
No entanto, na questão estamos considerando , que não satisfaz a equação acima.

Resposta

Para , a função não é derivável em , pois as derivadas laterais são diferentes.

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