Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
d.
d.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
. Isso significa que vamos derivar
mantendo uma das variáveis fixa enquanto derivamos em relação à outra.
Passo 2
Para começar, vamos lembrar que derivadas parciais são as derivadas de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Além disso, como nossa função está elevada a uma potência, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de funções.
Passo 3
Vamos primeiro encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que vamos chamar de
.
A função
pode ser vista como
, onde
.
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, vamos encontrar
.
Passo 4
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é zero, já que
é tratado como constante.
Agora, derivamos em relação a
:
Agora, derivamos
Então,
Passo 5
Voltando à derivada parcial de
em relação a
:
Podemos simplificar os coeficientes:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que vamos chamar de
.
Novamente, usando a regra da cadeia:
Vamos calcular
.
Passo 7
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Então,
Passo 8
Voltando à derivada parcial de
em relação a
:
Podemos simplificar os termos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem de
são:
e
Exercícios relacionados
É verdadeiro ou falso?
Existe uma série de potências cujo intervalo de convergência é
.
Existe uma série de potências
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
c.
c.
Nos problemas a seguir, uma equação diferencial é dada junto com o campo ou área de atuação em que ela aparece. Classifique cada uma como uma EDO ou EDP, dê a ordem e indique as variáveis independentes e dependentes. Se for uma EDO, indique se ela é linear ou não linear.
(f) , onde
e
são constantes. (curva logística, epidemologia, economia)
(f)
A taxa de variação de uma certa população é proporcional à raiz quadrada de sua dimensão. Modele esta situação com uma equação diferencial.