Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
d. F(x, y) = (5y^3 + 3(2x + 1)^(e)y)^8

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e . Isso significa que vamos derivar mantendo uma das variáveis fixa enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Para começar, vamos lembrar que derivadas parciais são as derivadas de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Além disso, como nossa função está elevada a uma potência, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de funções.

Passo 3

Vamos primeiro encontrar a derivada parcial de em relação a , que vamos chamar de .
A função pode ser vista como , onde .
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, vamos encontrar .

Passo 4

Calculando :
A derivada de em relação a é zero, já que é tratado como constante.
Agora, derivamos em relação a :
Então,

Passo 5

Voltando à derivada parcial de em relação a :
Podemos simplificar os coeficientes:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que vamos chamar de .
Novamente, usando a regra da cadeia:
Vamos calcular .

Passo 7

Calculando :
Derivando em relação a :
Então,

Passo 8

Voltando à derivada parcial de em relação a :
Podemos simplificar os termos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem de são:
e

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