Questão 4) [3,0 pts] Um bloco de
se move no plano
de acordo com as equaçőes
com
e
em metros e
em segundos. No instante
, quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (em relaçăo ao semieixo
positivo da força resultante a que está submetida a particula e © qual é o ângulo da direção de movimento da partícula?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um bloco de 0,5 kg que está se mexendo no plano xy, e a posição dele em função do tempo é dada por duas equações:
Queremos descobrir, no instante
segundos:
a) O módulo da força resultante que atua no bloco.
b) O ângulo dessa força em relação ao eixo x positivo.
c) O ângulo da direção de movimento da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e depois aplicar a segunda lei de Newton para achar a força. Também vamos usar trigonometria para encontrar os ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do bloco nas direções x e y no tempo
s. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Para a direção x:
Para a direção y:
Agora, substituímos
s:
Então, a velocidade no instante 2 s é
m/s.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração do bloco nas direções x e y no tempo
s. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Para a direção x:
Para a direção y:
Substituindo
s:
Então, a aceleração no instante 2 s é
m/s².
Passo 4
Agora, usamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
é igual à massa
multiplicada pela aceleração
:
Temos
kg e
m/s², então:
Portanto, a força resultante é
N.
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo da força resultante. Usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Substituindo os valores:
Passo 6
Para achar o ângulo da força em relação ao eixo x positivo, usamos a função tangente:
Lembrando que como
é negativo e
é positivo, o vetor está no segundo quadrante, então o ângulo vai ser entre 90° e 180°.
Calculando:
Como está no segundo quadrante, adicionamos 180° para obter o ângulo correto:
Passo 7
Finalmente, vamos encontrar o ângulo da direção de movimento da partícula. Sabemos que a velocidade é
m/s, ou seja, somente na direção x negativa. Portanto, o ângulo em relação ao eixo x positivo é 180°.
Resposta
a) O módulo da força resultante é aproximadamente
N.
b) O ângulo da força resultante em relação ao eixo x positivo é aproximadamente
.
c) O ângulo da direção de movimento da partícula é
.