Questão 4) [3,0 pts] Um bloco de 0,5 kg se move no plano x y de acordo com as equaçőes
l x(t)=-2 t^2+4 t-2 y(t)=t^3-3 t^2+1
com x e y em metros e t em segundos. No instante t=2 s, quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (em relaçăo ao semieixo x positivo da força resultante a que está submetida a particula e © qual é o ângulo da direção de movimento da partícula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um bloco de 0,5 kg que está se mexendo no plano xy, e a posição dele em função do tempo é dada por duas equações:
l x(t)=-2 t^2+4 t-2 y(t)=t^3-3 t^2+1
Queremos descobrir, no instante segundos:
a) O módulo da força resultante que atua no bloco.
b) O ângulo dessa força em relação ao eixo x positivo.
c) O ângulo da direção de movimento da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e depois aplicar a segunda lei de Newton para achar a força. Também vamos usar trigonometria para encontrar os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do bloco nas direções x e y no tempo vx(t) = dxdt = ddt (-2 t^2 + 4 t - 2) = -4 t + 4 s. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Para a direção x:
vy(t) = dydt = ddt (t^3 - 3 t^2 + 1) = 3 t^2 - 6 t
Para a direção y:
vx(2) = -4(2) + 4 = -8 + 4 = -4 , m/s
Agora, substituímos vy(2) = 3(2)^2 - 6(2) = 12 - 12 = 0 , m/s s:
Então, a velocidade no instante 2 s é m/s.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração do bloco nas direções x e y no tempo ax(t) = d vxdt = ddt (-4 t + 4) = -4 s. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Para a direção x:
ay(t) = d vydt = ddt (3 t^2 - 6 t) = 6 t - 6
Para a direção y:
ax(2) = -4 , m/s^2
Substituindo ay(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 , m/s^2 s:
Então, a aceleração no instante 2 s é m/s².

Passo 4

Agora, usamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante F = m cdot a é igual à massa Fx = 0,5 times (-4) = -2 , N multiplicada pela aceleração Fy = 0,5 times 6 = 3 , N :
Temos kg e m/s², então:
Portanto, a força resultante é N.

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo da força resultante. Usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
|F| = raizFx^2 + Fy^2
Substituindo os valores:
|F| = raiz(-2)^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,605 , N

Passo 6

Para achar o ângulo da força em relação ao eixo x positivo, usamos a função tangente:
theta = arctan(FyFx)
Lembrando que como theta = arctan(3-2) = arctan(-1,5) approx -56,31° é negativo e theta approx 180° - 56,31° = 123,69° é positivo, o vetor está no segundo quadrante, então o ângulo vai ser entre 90° e 180°.
Calculando:
Como está no segundo quadrante, adicionamos 180° para obter o ângulo correto:

Passo 7

Finalmente, vamos encontrar o ângulo da direção de movimento da partícula. Sabemos que a velocidade é m/s, ou seja, somente na direção x negativa. Portanto, o ângulo em relação ao eixo x positivo é 180°.

Resposta

a) O módulo da força resultante é aproximadamente N.
b) O ângulo da força resultante em relação ao eixo x positivo é aproximadamente .
c) O ângulo da direção de movimento da partícula é .

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