Sabendo que o campo elétrico, gerado por uma distribuição contínua de cargas elétricas, distribuídas em um certo volume do espaço, num certo ponto P, pode ser escrito como:
E(P)=14 pi epsilon0 integralv o l rho(r^prime)|rP-r^prime|^3(r-r^prime) d vol
(a) Demonstre que a forma local/diferencial da 1^0 Equação de Maxwell: nabla cdot E= rho(r) / epsilon0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma expressão para o campo elétrico E(P) gerado por uma distribuição contínua de cargas elétricas em um volume. Nosso objetivo é mostrar que, a partir dessa expressão integral, podemos chegar à forma local ou diferencial da primeira equação de Maxwell, que é:
nabla cdot E = rho(r)epsilon0
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como divergente, e propriedades de integrais sobre volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente, representado por nabla cdot E, mede a “taxa de saída” do campo elétrico de um ponto específico no espaço. Se o divergente for positivo, há uma “fonte” nesse ponto; se for negativo, há um “sumidouro”.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador divergente à expressão integral do campo elétrico fornecida:
nabla cdot E(P) = nabla cdot ( 14 pi epsilon0 integralvol rho(r^prime)|rP-r^prime|^3(r-r^prime) d vol )
Isso significa que vamos calcular o divergente da integral.

Passo 4

Observamos que o operador divergente atua sobre a variável rP. Podemos então trazer o operador divergente para dentro da integral, já que estamos diferenciando em relação a rP:
nabla cdot E(P) = 14 pi epsilon0 integralvol rho(r^prime) nabla cdot ( r - r^prime|rP - r^prime|^3 ) d vol

Passo 5

Agora, vamos calcular o divergente da função vetorial:
nabla cdot ( r - r^prime|rP - r^prime|^3 )
Sabemos que:
nabla cdot ( r - r^prime|rP - r^prime|^3 ) = 4 pi de
Aqui, de é a função delta de Dirac, que “seleciona” o ponto onde rP = r^prime.

Passo 6

Substituindo esse resultado na integral, temos:
nabla cdot E(P) = 14 pi epsilon0 integralvol rho(r^prime) 4 pi de
Os 4 pi se cancelam:
nabla cdot E(P) = 1epsilon0 integralvol rho(r^prime) de

Passo 7

A propriedade da função delta de Dirac nos permite simplificar a integral. A integral de uma função f(r^prime) multiplicada por de sobre todo o volume é igual a f(rP):
integralvol rho(r^prime) de

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do divergente:
nabla cdot E(P) = rho(rP)epsilon0
Isso é exatamente a forma diferencial da primeira equação de Maxwell.

Resposta

Demonstramos que nabla cdot E = dfracrho(r)epsilon0, confirmando a forma local da primeira Equação de Maxwell.

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