Sabendo que o campo elétrico, gerado por uma distribuição contínua de cargas elétricas, distribuídas em um certo volume do espaço, num certo ponto , pode ser escrito como:
(a) Demonstre que a forma local/diferencial da Equação de Maxwell:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma expressão para o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de cargas elétricas em um volume. Nosso objetivo é mostrar que, a partir dessa expressão integral, podemos chegar à forma local ou diferencial da primeira equação de Maxwell, que é:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como divergente, e propriedades de integrais sobre volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente, representado por , mede a “taxa de saída” do campo elétrico de um ponto específico no espaço. Se o divergente for positivo, há uma “fonte” nesse ponto; se for negativo, há um “sumidouro”.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador divergente à expressão integral do campo elétrico fornecida:
Isso significa que vamos calcular o divergente da integral.

Passo 4

Observamos que o operador divergente atua sobre a variável . Podemos então trazer o operador divergente para dentro da integral, já que estamos diferenciando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular o divergente da função vetorial:
Sabemos que:
Aqui, é a função delta de Dirac, que “seleciona” o ponto onde .

Passo 6

Substituindo esse resultado na integral, temos:
Os se cancelam:

Passo 7

A propriedade da função delta de Dirac nos permite simplificar a integral. A integral de uma função multiplicada por sobre todo o volume é igual a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do divergente:
Isso é exatamente a forma diferencial da primeira equação de Maxwell.

Resposta

Demonstramos que , confirmando a forma local da primeira Equação de Maxwell.

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