4^a Questão:ã

(b) Seja A = { p(x) em Z4[x] - {0} ; gr(p(x)) <= 3 }. Determine quantos elementos o conjunto A possui.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre polinômios com coeficientes no conjunto , que é basicamente os números 0, 1, 2 e 3. A gente precisa contar quantos polinômios não nulos (ou seja, diferentes de zero) têm grau no máximo 3. Então, vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios e contar as possibilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de grau no máximo 3. Ele tem a forma geral:
Aqui, , , e são coeficientes que pertencem a , ou seja, podem ser 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Agora, cada coeficiente tem 4 opções possíveis (0, 1, 2, 3). Como temos 4 coeficientes, o total de combinações possíveis é:

Passo 4

Mas a gente precisa excluir o polinômio zero, que é quando todos os coeficientes são 0:
Então, retirando essa única opção, temos:

Resposta

O conjunto A possui 255 elementos.

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