(b) Seja A = { p(x) em Z4[x] - {0} ; gr(p(x)) <= 3 }. Determine quantos elementos o conjunto A possui.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre polinômios com coeficientes no conjunto , que é basicamente os números 0, 1, 2 e 3. A gente precisa contar quantos polinômios não nulos (ou seja, diferentes de zero) têm grau no máximo 3. Então, vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios e contar as possibilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de grau no máximo 3. Ele tem a forma geral:
Aqui, , , e são coeficientes que pertencem a , ou seja, podem ser 0, 1, 2 ou 3.
Passo 3
Agora, cada coeficiente tem 4 opções possíveis (0, 1, 2, 3). Como temos 4 coeficientes, o total de combinações possíveis é:
Passo 4
Mas a gente precisa excluir o polinômio zero, que é quando todos os coeficientes são 0: