Questão 2. Encontre a forma vetorial da solução geral do sistema linear dado abaixo. Represente sua resposta como soma da solução geral do sistema homogêneo com uma solução particular do sistema não-homogêneo.
Em sua resposta, considere:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares que precisamos resolver na forma vetorial. Isso envolve encontrar a solução geral do sistema . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas homogêneos e não-homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma solução particular do sistema não-homogêneo e a solução geral do sistema homogêneo associado.
Passo 2
Vamos começar resolvendo o sistema de equações dado:
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para expressar uma variável em termos das outras. A segunda equação é:
Podemos isolar :
Passo 4
Agora, substituímos o valor de encontrado na primeira e na terceira equação:
Na primeira equação:
Simplificando:
Na terceira equação:
Substituindo :
Essa equação confirma que nossas expressões para e estão corretas e que é um parâmetro livre, ou seja, pode assumir qualquer valor.
Passo 5
Vamos então expressar as variáveis em termos de :
Podemos parametrizar como , onde é um número real qualquer. Assim:
Passo 6
Para escrever a solução na forma vetorial, observamos que podemos separar a parte constante das partes que dependem de :
[
t \cdot
]
Multiplicando o vetor por 3 para simplificar os coeficientes:
[
t \cdot
]
Passo 7
Comparando com os vetores fornecidos no enunciado, identificamos que os vetores e podem ser usados para formar a solução geral do sistema homogêneo, enquanto e representam a solução particular do sistema não-homogêneo.
Portanto, a solução vetorial geral é a soma da solução homogênea com a particular: