Questão 2. Encontre a forma vetorial da solução geral do sistema linear dado abaixo. Represente sua resposta como soma da solução geral do sistema homogêneo com uma solução particular do sistema não-homogêneo.
Em sua resposta, considere: U=(-1,-2,1), V=(0,-2,2), W=(1,0,0) ; P=(0,1,-1)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares que precisamos resolver na forma vetorial. Isso envolve encontrar a solução geral do sistema . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas homogêneos e não-homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma solução particular do sistema não-homogêneo e a solução geral do sistema homogêneo associado.
Passo 2
Vamos começar resolvendo o sistema de equações dado:
c -x + y + z = 1 3 y + 4 z = 6 2 x + y + 2 z = 4
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para expressar uma variável em termos das outras. A segunda equação é:
3 y + 4 z = 6
Podemos isolar 3 y = 6 - 4 z implies y = 2 - 43 z :
Passo 4
Agora, substituímos o valor de - x + (2 - 43 z) + z = 1 encontrado na primeira e na terceira equação:
Na primeira equação:
- x + 2 - 43 z + z = 1 - x + 2 - 13 z = 1 - x = -1 + 13 z x = 1 - 13 z
Simplificando:
2 x + (2 - 43 z) + 2 z = 4
Na terceira equação:
2 (1 - 13 z) + 2 - 43 z + 2 z = 4 2 - 23 z + 2 - 43 z + 2 z = 4 4 + (-23 z - 43 z + 2 z) = 4 4 + ((-2 -4 + 6)3 z) = 4 4 + 0 z = 4
Substituindo :
Essa equação confirma que nossas expressões para e estão corretas e que é um parâmetro livre, ou seja, pode assumir qualquer valor.
Passo 5
Vamos então expressar as variáveis em termos de x = 1 - 13 z y = 2 - 43 z z = z :
x = 1 - 13 t y = 2 - 43 t z = t
Podemos parametrizar como , onde é um número real qualquer. Assim:
Passo 6
Para escrever a solução na forma vetorial, observamos que podemos separar a parte constante das partes que dependem de x y z = 1 2 0 + t cdot - 13 - 43 1 :
[ = 1 2 0 + t cdot -1 -4 3
t \cdot
]
Multiplicando o vetor por 3 para simplificar os coeficientes:
[
t \cdot
]
Passo 7
Comparando com os vetores fornecidos no enunciado, identificamos que os vetores X = W + sU + tV e podem ser usados para formar a solução geral do sistema homogêneo, enquanto e representam a solução particular do sistema não-homogêneo.
Portanto, a solução vetorial geral é a soma da solução homogênea com a particular: