Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
b) x^2-20 x+y+100=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma parábola:
x^2 - 20x + y + 100 = 0
Precisamos determinar:
  1. As coordenadas do vértice e do foco.
  2. As equações da diretriz e do eixo focal.
  3. O comprimento do Latus Rectum.
  4. Fazer um esboço da parábola.
Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os elementos de uma parábola a partir da sua equação geral. Vamos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola e, assim, encontrar todas as informações necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para a forma padrão da parábola. A forma padrão de uma parábola vertical (que abre para cima ou para baixo) é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Onde (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância do vértice ao foco. Nossa equação é:
x^2 - 20x + y + 100 = 0
Vamos isolar o termo com y:
y = -x^2 + 20x - 100
Agora, completamos o quadrado para os termos de x:
y = -(x^2 - 20x) - 100
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de x, que é -20, dividimos por 2 para obter -10, e então elevamos ao quadrado para obter 100:
y = -(x^2 - 20x + 100 - 100) - 100 y = -(x - 10)^2 + 100 - 100 y = -(x - 10)^2
Agora, a equação está na forma:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Comparando, temos:
(x - 10)^2 = -4(y - 0)
Isso nos mostra que a parábola está aberta para baixo.

Passo 3

Agora que temos a equação na forma padrão, podemos identificar os elementos solicitados.
  1. Vértice: As coordenadas do vértice (h, k) são (10, 0).
  2. Foco: A distância p é -1, já que 4p = -4. Portanto, o foco está a 1 unidade abaixo do vértice, em (10, -1).
  3. Diretriz: A diretriz é uma linha paralela à abertura oposta da parábola. Como a parábola abre para baixo, a diretriz estará acima do vértice. A equação da diretriz é y = k + p = 0 + 1 = 1.
  4. Eixo de simetria: É a linha que passa pelo vértice e o foco, vertical neste caso. A equação é x = h = 10.
  5. Latus Rectum: O comprimento do Latus Rectum é |4p| = 4. Ele é a distância do foco que determina a largura da parábola.

Passo 4

Agora, para fazer um esboço da parábola:
  • Vértice em (10, 0).
  • Foco em (10, -1).
  • Diretriz em y = 1.
  • Traçamos a abertura para baixo, já que p é negativo.
  • O Latus Rectum tem comprimento 4, então a parábola passa por dois pontos a 2 unidades à esquerda e à direita do foco, ou seja, em (8, -1) e (12, -1).

Resposta

  1. Vértice: (10, 0); Foco: (10, -1).
  2. Diretriz: y = 1; Eixo de simetria: x = 10.
  3. Comprimento do Latus Rectum: 4 unidades.
  4. Esboço: Parábola com vértice em (10, 0), abrindo para baixo, foco em (10, -1), diretriz em y = 1, e passando pelos pontos (8, -1) e (12, -1).

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