Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
b)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma parábola:
Precisamos determinar:
  1. As coordenadas do vértice e do foco.
  2. As equações da diretriz e do eixo focal.
  3. O comprimento do Latus Rectum.
  4. Fazer um esboço da parábola.
Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os elementos de uma parábola a partir da sua equação geral. Vamos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola e, assim, encontrar todas as informações necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para a forma padrão da parábola. A forma padrão de uma parábola vertical (que abre para cima ou para baixo) é:
Onde é o vértice da parábola e é a distância do vértice ao foco. Nossa equação é:
Vamos isolar o termo com :
Agora, completamos o quadrado para os termos de :
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é , dividimos por 2 para obter , e então elevamos ao quadrado para obter :
Agora, a equação está na forma:
Comparando, temos:
Isso nos mostra que a parábola está aberta para baixo.

Passo 3

Agora que temos a equação na forma padrão, podemos identificar os elementos solicitados.
  1. Vértice: As coordenadas do vértice são .
  2. Foco: A distância é , já que . Portanto, o foco está a unidade abaixo do vértice, em .
  3. Diretriz: A diretriz é uma linha paralela à abertura oposta da parábola. Como a parábola abre para baixo, a diretriz estará acima do vértice. A equação da diretriz é .
  4. Eixo de simetria: É a linha que passa pelo vértice e o foco, vertical neste caso. A equação é .
  5. Latus Rectum: O comprimento do Latus Rectum é . Ele é a distância do foco que determina a largura da parábola.

Passo 4

Agora, para fazer um esboço da parábola:
  • Vértice em .
  • Foco em .
  • Diretriz em .
  • Traçamos a abertura para baixo, já que é negativo.
  • O Latus Rectum tem comprimento , então a parábola passa por dois pontos a unidades à esquerda e à direita do foco, ou seja, em e .

Resposta

  1. Vértice: ; Foco: .
  2. Diretriz: ; Eixo de simetria: .
  3. Comprimento do Latus Rectum: unidades.
  4. Esboço: Parábola com vértice em , abrindo para baixo, foco em , diretriz em , e passando pelos pontos e .

Exercícios relacionados

Sendo e unitários, , e ang , calcule:
(a)
(b)
©
(d)
Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
b) vértice , eixo focal paralelo a e é o ponto de seu gráfico;
Questão 6. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto é igual à sua distância à reta . Em seguida, determine a equação desse lugar geométrico.
Calcule .