Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
b)
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
b)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma parábola:
Precisamos determinar:
- As coordenadas do vértice e do foco.
- As equações da diretriz e do eixo focal.
- O comprimento do Latus Rectum.
- Fazer um esboço da parábola.
Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os elementos de uma parábola a partir da sua equação geral. Vamos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola e, assim, encontrar todas as informações necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para a forma padrão da parábola. A forma padrão de uma parábola vertical (que abre para cima ou para baixo) é:
Onde
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice ao foco. Nossa equação é:
Vamos isolar o termo com
:
Agora, completamos o quadrado para os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 para obter
, e então elevamos ao quadrado para obter
:
Agora, a equação está na forma:
Comparando, temos:
Isso nos mostra que a parábola está aberta para baixo.
Passo 3
Agora que temos a equação na forma padrão, podemos identificar os elementos solicitados.
- Vértice: As coordenadas do vértice
são . - Foco: A distância
é , já que . Portanto, o foco está a unidade abaixo do vértice, em . - Diretriz: A diretriz é uma linha paralela à abertura oposta da parábola. Como a parábola abre para baixo, a diretriz estará acima do vértice. A equação da diretriz é
. - Eixo de simetria: É a linha que passa pelo vértice e o foco, vertical neste caso. A equação é
. - Latus Rectum: O comprimento do Latus Rectum é
. Ele é a distância do foco que determina a largura da parábola.
Passo 4
Agora, para fazer um esboço da parábola:
- Vértice em
. - Foco em
. - Diretriz em
. - Traçamos a abertura para baixo, já que
é negativo. - O Latus Rectum tem comprimento
, então a parábola passa por dois pontos a unidades à esquerda e à direita do foco, ou seja, em e .
Resposta
- Vértice:
; Foco: . - Diretriz:
; Eixo de simetria: . - Comprimento do Latus Rectum:
unidades. - Esboço: Parábola com vértice em
, abrindo para baixo, foco em , diretriz em , e passando pelos pontos e .
Exercícios relacionados
Sendo
e
unitários,
, e ang
, calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
b) vértice , eixo focal paralelo a
e
é o ponto de seu gráfico;
b) vértice
Questão 6. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto
é igual à sua distância à reta
. Em seguida, determine a equação desse lugar geométrico.
Calcule
.