Questão 6. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto
é igual à sua distância à reta
. Em seguida, determine a equação desse lugar geométrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o lugar geométrico de pontos que estão sempre à mesma distância de um ponto fixo
e de uma reta
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente de locus geométrico. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de distância entre pontos e entre ponto e reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. Se temos um ponto qualquer
e o ponto fixo
, a distância entre eles,
, é dada pela fórmula:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre o ponto
e a reta
. A fórmula para a distância de um ponto
a uma reta
é:
No nosso caso, a reta é
, que podemos escrever como
. Então,
,
, e
. Substituindo na fórmula:
Passo 4
A condição dada na questão é que essas duas distâncias sejam iguais:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Agora, vamos desenvolver os quadrados:
Simplificando os termos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Vamos organizar os termos para isolar os que contêm
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola. Primeiramente, isolamos os termos com
:
Completo o quadrado para a parte que envolve
:
Isso dá:
Passo 8
Finalmente, reescrevemos a equação de forma mais simples:
Resposta
O lugar geométrico é uma parábola dada pela equação: