Questão 6. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto P(-2,3) é igual à sua distância à reta r: x+6=0. Em seguida, determine a equação desse lugar geométrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o lugar geométrico de pontos que estão sempre à mesma distância de um ponto fixo e de uma reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente de locus geométrico. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de distância entre pontos e entre ponto e reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. Se temos um ponto qualquer d(Q,P) = raiz(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = raiz(x + 2)^2 + (y - 3)^2 e o ponto fixo , a distância entre eles, , é dada pela fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre o ponto d(Q, r) = |Ax + By + C|raizA^2 + B^2 e a reta d(Q, r) = |1 cdot x + 0 cdot y + 6|raiz1^2 + 0^2 = |x + 6|1 = |x + 6| . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:
No nosso caso, a reta é , que podemos escrever como . Então, , , e . Substituindo na fórmula:

Passo 4

A condição dada na questão é que essas duas distâncias sejam iguais:
raiz(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = |x + 6|
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x + 6)^2

Passo 5

Agora, vamos desenvolver os quadrados:
(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = x^2 + 12x + 36
Simplificando os termos:
x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 12x + 36
Subtraindo 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 12x + 36 de ambos os lados:

Passo 6

Vamos organizar os termos para isolar os que contêm y^2 - 6y + (4x + 13) = 12x + 36 :
y^2 - 6y + 4x + 13 - 12x - 36 = 0
Subtraindo y^2 - 6y - 8x - 23 = 0 de ambos os lados:
Simplificando:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola. Primeiramente, isolamos os termos com y^2 - 6y = 8x + 23 :
y^2 - 6y + 9 = 8x + 23 + 9
Completo o quadrado para a parte que envolve (y - 3)^2 = 8x + 32 :
Isso dá:

Passo 8

Finalmente, reescrevemos a equação de forma mais simples:
(y - 3)^2 = 8(x + 4)

Resposta

O lugar geométrico é uma parábola dada pela equação:
(y - 3)^2 = 8(x + 4)

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