Questão 6. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto é igual à sua distância à reta . Em seguida, determine a equação desse lugar geométrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o lugar geométrico de pontos que estão sempre à mesma distância de um ponto fixo e de uma reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente de locus geométrico. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de distância entre pontos e entre ponto e reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. Se temos um ponto qualquer e o ponto fixo , a distância entre eles, , é dada pela fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre o ponto e a reta . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:
No nosso caso, a reta é , que podemos escrever como . Então, , , e . Substituindo na fórmula:

Passo 4

A condição dada na questão é que essas duas distâncias sejam iguais:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Agora, vamos desenvolver os quadrados:
Simplificando os termos:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Vamos organizar os termos para isolar os que contêm :
Subtraindo de ambos os lados:
Simplificando:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola. Primeiramente, isolamos os termos com :
Completo o quadrado para a parte que envolve :
Isso dá:

Passo 8

Finalmente, reescrevemos a equação de forma mais simples:

Resposta

O lugar geométrico é uma parábola dada pela equação:

Exercícios relacionados

Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
b)
Sendo e unitários, , e ang , calcule:
(a)
(b)
©
(d)
Calcule .
Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
(a) e
(b) e