QUESTÃO: calcule a derivada pelo método das funções inversas (ou seja, ache a inversa de cada função e calcule a derivada da função a partir da derivada de sua inversa) y = e^(x^2), x ≥ 0

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função usando o método das funções inversas. Isso está na matéria de Cálculo Diferencial, onde trabalhamos com derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar encontrar a função inversa de e depois usar a relação entre as derivadas de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função inversa de . Para isso, trocamos por e vice-versa:
Agora, queremos isolar :
Então, a função inversa é:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função inversa em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Derivando:

Passo 4

Sabemos que a derivada da função original em relação a é o inverso da derivada da função inversa em relação a . Então:

Passo 5

Mas lembrando que , temos . Substituindo por :

Resposta

A derivada de pelo método das funções inversas é:

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