QUESTÃO: calcule a derivada pelo método das funções inversas (ou seja, ache a inversa de cada função e calcule a derivada da função a partir da derivada de sua inversa)
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função
usando o método das funções inversas. Isso está na matéria de Cálculo Diferencial, onde trabalhamos com derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar encontrar a função inversa de
e depois usar a relação entre as derivadas de funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função inversa de
. Para isso, trocamos
por
e vice-versa:
Agora, queremos isolar
:
Então, a função inversa é:
Passo 3
Agora, vamos derivar a função inversa
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Derivando:
Passo 4
Sabemos que a derivada da função original
em relação a
é o inverso da derivada da função inversa
em relação a
. Então:
Passo 5
Mas lembrando que
, temos
. Substituindo
por
:
Resposta
A derivada de
pelo método das funções inversas é:
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