QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo:
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisamos descobrir:
- Onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Sua concavidade (se está “sorrindo” pra cima ou “chorando” pra baixo).
- Ponto(s) de inflexão (onde a concavidade muda).
- Máximos e mínimos locais (os picos e vales da função).
Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas. As derivadas nos ajudam a entender como a função se comporta em relação ao crescimento, concavidade e pontos críticos.
Passo 2
Primeira Derivada: Crescimento e Decrescimento
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A primeira derivada nos mostra onde a função está aumentando ou diminuindo.
Usamos a regra do produto para derivar:
Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de
:
Então, a função está crescendo quando
e decrescendo quando
.
Passo 3
Segunda Derivada: Concavidade e Pontos de Inflexão
Agora, vamos para a segunda derivada para entender a concavidade.
Derivamos
:
Para encontrar onde a função muda de concavidade, resolvemos
:
Como
nunca é zero, temos:
Então,
é um ponto de inflexão. Agora, analisamos a concavidade:
- Se
(quando ): concavidade para cima. - Se
(quando ): concavidade para baixo.
Passo 4
Máximos e Mínimos Locais
Para encontrar máximos e mínimos locais, olhamos onde a primeira derivada muda de sinal.
Já vimos que
:
- Para
: (função decresce). - Para
: (função cresce).
No ponto
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Para confirmar, calculamos
:
Então, o mínimo local está em
com valor
.
Resposta
A função
apresenta:
- Crescimento em todo intervalo
. - Decrescimento em todo intervalo
. - Concavidade para cima quando
. - Concavidade para baixo quando
. - Ponto de inflexão em
. - Mínimo local em
com valor .