QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo: f(x) = x * e^x

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisamos descobrir:
  1. Onde a função está crescendo ou decrescendo.
  2. Sua concavidade (se está “sorrindo” pra cima ou “chorando” pra baixo).
  3. Ponto(s) de inflexão (onde a concavidade muda).
  4. Máximos e mínimos locais (os picos e vales da função).
Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas. As derivadas nos ajudam a entender como a função se comporta em relação ao crescimento, concavidade e pontos críticos.

Passo 2

Primeira Derivada: Crescimento e Decrescimento
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A primeira derivada nos mostra onde a função está aumentando ou diminuindo.
Usamos a regra do produto para derivar:
Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de :
Então, a função está crescendo quando e decrescendo quando .

Passo 3

Segunda Derivada: Concavidade e Pontos de Inflexão
Agora, vamos para a segunda derivada para entender a concavidade.
Derivamos :
Para encontrar onde a função muda de concavidade, resolvemos :
Como nunca é zero, temos:
Então, é um ponto de inflexão. Agora, analisamos a concavidade:
  • Se (quando ): concavidade para cima.
  • Se (quando ): concavidade para baixo.

Passo 4

Máximos e Mínimos Locais
Para encontrar máximos e mínimos locais, olhamos onde a primeira derivada muda de sinal.
Já vimos que :
  • Para : (função decresce).
  • Para : (função cresce).
No ponto , a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Para confirmar, calculamos :
Então, o mínimo local está em com valor .

Resposta

A função apresenta:
  • Crescimento em todo intervalo .
  • Decrescimento em todo intervalo .
  • Concavidade para cima quando .
  • Concavidade para baixo quando .
  • Ponto de inflexão em .
  • Mínimo local em com valor .

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