QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar a função
. O conteúdo aqui envolve Cálculo Diferencial, mais especificamente, derivadas para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, sua concavidade, pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajudará a determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais.
A função é:
Para derivar isso, usamos a regra da derivada para a exponencial e a regra da cadeia.
Derivando termo a termo:
- Para
, a derivada é . - Para
, reescrevemos como . A derivada é .
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar os pontos críticos onde
ou onde a derivada não existe. Esses pontos são candidatos a terem máximos ou mínimos locais.
Resolvendo
:
Essa equação não tem solução analítica simples, então vamos analisar graficamente ou numericamente. Para simplificação, percebemos que quando
:
E quando
:
Então, há uma mudança de sinal entre
e
, indicando um ponto crítico aproximado nesse intervalo.
Passo 4
Vamos agora determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local usando o teste da primeira derivada.
Observamos que:
- Para
, (a função está crescendo). - Para
, (a função está decrescendo).
Isso significa que em
, a função atinge um máximo local.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
para analisar a concavidade da função e identificar os pontos de inflexão.
Derivando
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Então, a segunda derivada é:
Passo 6
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Assim como antes, essa equação não tem solução analítica simples, e precisaríamos de métodos numéricos ou gráficos para encontrar os valores de
que satisfazem essa igualdade. Esses pontos são onde a concavidade da função muda, indicando inflexão.
Passo 7
Finalmente, vamos resumir os resultados:
- Intervalos de Crescimento: Onde
. Aproximadamente, entre e . - Intervalos de Decrescimento: Onde
. Aproximadamente, entre e . - Máximo Local: A função tem um máximo local em
(valor exato encontrado numericamente). - Concavidade: Determinada pela segunda derivada
. A função é côncava para cima ou para baixo dependendo do sinal de . - Pontos de Inflexão: Onde a concavidade muda, resolvendo
.
Resposta
A função
possui um máximo local aproximado em
, onde
está entre 0 e 1. A concavidade e os pontos de inflexão ocorrem nos pontos onde a segunda derivada é zero, os quais precisam ser determinados numericamente.