QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo: f(x) = e^(-x^2) - (1/e^x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar a função . O conteúdo aqui envolve Cálculo Diferencial, mais especificamente, derivadas para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, sua concavidade, pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos ajudará a determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais.
A função é:
Para derivar isso, usamos a regra da derivada para a exponencial e a regra da cadeia.
Derivando termo a termo:
  1. Para , a derivada é .
  2. Para , reescrevemos como . A derivada é .
Então, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar os pontos críticos onde ou onde a derivada não existe. Esses pontos são candidatos a terem máximos ou mínimos locais.
Resolvendo :
Essa equação não tem solução analítica simples, então vamos analisar graficamente ou numericamente. Para simplificação, percebemos que quando :
E quando :
Então, há uma mudança de sinal entre e , indicando um ponto crítico aproximado nesse intervalo.

Passo 4

Vamos agora determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local usando o teste da primeira derivada.
Observamos que:
  • Para , (a função está crescendo).
  • Para , (a função está decrescendo).
Isso significa que em , a função atinge um máximo local.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função e identificar os pontos de inflexão.
Derivando :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Então, a segunda derivada é:

Passo 6

Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos :
Assim como antes, essa equação não tem solução analítica simples, e precisaríamos de métodos numéricos ou gráficos para encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade. Esses pontos são onde a concavidade da função muda, indicando inflexão.

Passo 7

Finalmente, vamos resumir os resultados:
  • Intervalos de Crescimento: Onde . Aproximadamente, entre e .
  • Intervalos de Decrescimento: Onde . Aproximadamente, entre e .
  • Máximo Local: A função tem um máximo local em (valor exato encontrado numericamente).
  • Concavidade: Determinada pela segunda derivada . A função é côncava para cima ou para baixo dependendo do sinal de .
  • Pontos de Inflexão: Onde a concavidade muda, resolvendo .

Resposta

A função possui um máximo local aproximado em , onde está entre 0 e 1. A concavidade e os pontos de inflexão ocorrem nos pontos onde a segunda derivada é zero, os quais precisam ser determinados numericamente.

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